Инверсия в геометрии

Так как ∟АґХґВґ = ∟ОВґХґ – ∟ОАґХґ = ∟ОХВ – ∟ОХА = ∟АХВ = , то отсюда вытекает, что отрезок АґВґ из точки Хґ виден под углом и, стало быть, точка Хґ лежит на окружности S, построенной на отрезке АґВґ как на диаметре. Поскольку точка Х на окружности К была выбрана произвольно, то Кґ – образ окружности К при инверсии ц – расположен на окружности S. Пусть Y – произвольная точка окружности S и Z – точка на луче ОY такая, что ОZ = . Очевидно, что точка Z переводится инверсией ц в точку Y. Далее, из соотношений
ОА ОАґ = r2
ОВ ОВґ = r2
ОZ OY = r2
и леммы 1 вытекает, что ∟AZB = ∟OZB – ∟OZA = ∟OB′Y – ∟OA′Y =∟A′YB′ = .
Следовательно, что точка Z лежит на окружности К. отсюда вытекает, что фигуры S и Кґ совпадают. Так как по построению концы диаметра окружности К – точки А, В – отличны от точки О, то окружность Кґ не проходит через точку О.
Построения , приведенные выше, дают возможность строить образ окружностей при инверсии с помощью циркуля и линейки. Рассмотрим этот вопрос более подробно.
а) Окружность не проходит через центр инверсии. В этом случае проводим из точки О луч, который пересекает окружность К по диаметру АВ, для точек А и В строим их образы Аґ и Вґ. окружность Кґ – образ окружности К относительно инверсии ц – есть окружность, построенная на отрезке АґВґ как на диаметре (рис. 6).