Высшая Математека. Курсовая. Ряды

Говоря об асимптотическом поведении функции при некоторой базе B мы интересуемся лишь характером предельного поведения функции, поэтому если какие-то две, вообще говоря, различные, функции  совпадают на некотором элементе базы B то они имеют одинаковое асимптотическое поведение при базе B асимптотическом смысле должны считаться совпадающими.
Далее, если заранее фиксировать асимптотическую последовательность φn(x) по которой желательно вести асимптотическое разложение, то надо считаться с ограниченными возможностями любой такой системы функций φn(x).
А именно, найдутся функции, которые при данной базе бесконечно малы в сравнении с любым членом φn(x) асимптотической последовательности φn(x)
Определение. Если φn(x) — асимптотическая последовательность при базе B, то функция f такая, что для каждого n=0.1… при базе B называется асимптотическим нулем относительно последовательности φn(x)
Определение. Функции f и g будем называть асимптотически совпадающими при базe B относительно последовательности функций φn(x) асимптотической при базе B если разность f-g этих функций является асимптотическим нулем относительно последовательности φn(x).
Утверждение 1 (о единственности асимптотического разложения). Пусть φn(x) — асимптотическая последовательность функций при некоторой базе  B.
Если функция  f  допускает  асимптотическое разложение по последовательности  φn(x)  при базе B то это разложение единственно.
Если функции f и gдопускают асимптотическое разложение по системе φn(x) то эти разложения идентичны в том и только в том случае, когда функции f и g асимптотически совпадают при базе B относительно последовательности φn(x).
Асимптотическую последовательность и асимптотическое разложение не следует отождествлять с некоторым каноническим базисом и разложением по нему любой асимптотики. Возможных видов асимптотического поведения много больше того, что может описать фиксированная асимптотическая последовательность, поэтому описание асимптотического поведения функции это не столько разложение по заранее заданной асимптотической системе, сколько ее отыскание. Нельзя, например, вычисляя неопределенный интеграл от элементарной функции, заранее требовать, чтобы ответ был композицией определенных элементарных функций, потому что он вообще может не быть элементарной функцией. Поиск асимптотических формул, подобно вычислению неопределенных интегралов, представляет интерес лишь в той степени, в какой ответ проще и доступнее для исследования, чем исходное выражение.