В основе графического метода лежит нахождение точек пересечения графиков функций левой и правой частей уравнения. Обычно данный метод применяется, когда графики обеих частей уравнения достаточно просто строятся и легко находятся точки пересечения этих графиков. Этим методом лучше пользоваться для интерпретации решений или для того, чтобы установить план аналитического решения.
Пример. Решить уравнение
[х] = 2{х}.
Решение. Решим это уравнение графически. Построим графики функций y=[x] и y=2{x}. Найдём абсциссы точек их пересечения (рис.3).
Рисунок 3.
Получаем значения x=0, x=1,5.
Ответ: x=0, x=1,5.
В некоторых случаях удобнее по графику найти ординаты точек пересечения графиков. Затем подставить полученное значение в одно из уравнений и найти искомые значения х.
Решение уравнений введением новой переменной
Рассмотрим следующий пример.
Пример. Решить уравнение
x2-8x+7=0.
Решение. Заменим {х} на а, 0≤a<1, получим простое квадратное уравнение a2-8a+7=0. Находим корни уравнения: a=7 и a=1. Проведем обратную замену и получим два новых уравнения: x=7 и x=1. Оба эти уравнения не имеют корней. Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.
Рассмотрим ещё один случай решения уравнения введением новой переменной.
Пример. Решить уравнение
3[x]3+2[x]2+5x-10=0.
Решение. Проведём замену x=a, a∈Z и получим новое кубическое уравнение 3a3+2a2+5a-10=0. Первый корень этого уравнения найдём путём подбора: a=1 − корень уравнения. Делим наше уравнение на (а-1). Получаем квадратное уравнение 3a2+5a+10=0. Это уравнение имеет отрицательный дискриминант, а значит, не имеет решений. То есть, a=1 − единственный корень уравнения. Проводим обратную замену: x=a=1. Полученное уравнение решаем по определению целой части числа: x∈1;2.
Ответ: x∈1;2.
