Симметрия в алгебре. Разработка факультативного курса для общеобразовательных учреждений

В учебнике Мордковича А.Г. «Алгебра» для 9 класса с углубленным изучением математики вводится сначала понятие «симметрические выражения»: «Выражение p(x,y) называется симметрическим, если оно сохраняет свой вид при элементарной замене x на y, а y на x» [22]. Затем на основе данного определения вводятся понятия «симметрическое уравнение», «основные симметрические многочлены» и неявная формулировка основной теоремы о симметрических многочленах (без доказательства). И в итоге формулируется определение системы симметрических многочленов с 2-мя неизвестными и идеи решения.
Также в 11 классе А.Г. Мордкович рассматривает теорию симметрических выражений при изучении тем: «Многочлены», «Решение уравнений высших степеней и их систем». Автор даёт следующее определение симметрического многочлена: «Многочлен р(х; у) называется симметрическим, если он сохраняет свой вид при одновременной замене x на y, а y на x» [24].
Башмаков М.И. в учебнике «Алгебра и начала анализа» для 10-11 классов общеобразовательных учреждений [3] в шестой главе под названием «Уравнения и неравенства» в отдельном пункте проводит рассмотрение систем симметрических уравнений. Четкая формулировка определения симметрической системы. Основой решения симметрических систем уравнений вида x+y=αxy=β является теорема, обратная к теореме Виета. Чтобы найти корни такой системы, требуется нахождение корней уравнения t2-αt+β=0. «Решение других систем основано на том, что любое симметричное относительно x и y выражение может быть выражено через новые переменные u=х + y и v=xy» [3].
Учебник Колягина Ю.М. «Алгебра и начала математического анализа» для 10 класса базового и профильного уровней [13] рассматривает данную теорию в главе «Многочлены. Алгебраические уравнения». В отдельно выделенном на данную тему параграфе вводится понятие «симметрического многочлена»: «Многочлен p(x1,x2,…,xn) от n переменных называется симметрическим, если он остается неизменным при любой перестановке переменных» [13]. При этом перед тем, как ввести понятие, автор ставит перед обучающимся проблемную задачу: не решая заданного уравнения, составить новое квадратное уравнение, корни которого будут удовлетворять поставленным условиям. Таким образом, он показывает свойство симметричности и затем знакомит с симметрическими многочленами. Разбор решения симметрических уравнений, а также систем приводится на конкретных примерах, а основой их является применение теоремы Виета.
Учебник Дорофеева Г.В. «Алгебра и начала анализа» (10 класс) для общеобразовательных учреждений [9] содержит подробное изложение понятия симметрического многочлена. Формулировка определения дается после приведения определенных примеров и для n переменных: «многочлен от нескольких переменных называется симметрическим, когда не происходит его изменения при перенумерации переменных». Здесь же введено понятие «элементарные симметрические многочлены», приводятся их примеры с четырьмя переменными. Основную теорему о симметрических многочленах сформулировали недостаточно четко, а доказательства не приведено. Затем автор приводит подробное изложение теоремы Виета для многочленов выше 2 степени, сначала формулируя ее для многочлена 3-ей степени со старшим коэффициентом 1. Даются различные примеры использования теории симметрических многочленов.