Решение. Пусть AB – наибольшая сторона треугольника ABC, CD – проведенная к ней высота. Точка D лежит между A и B. Через точку K (середину высоты CD) проведем прямую, параллельную AB и опустим на нее перпендикуляры AE и BF. Получим прямоугольник AEFB, равносоставленный с треугольником ABC. Действительно, треугольники, занумерованные цифрами 1 и 2, попарно равны между собой. Каждая из фигур ABC и AEFB состоит из заштрихованной трапеции и двух треугольников 1 и 2.
Теорема 2. Доказать, что два равновеликих параллелограмма, имеющих общее основание, равносоставлены.
Доказательство. Пусть ABCD и ABEF – два параллелограмма, имеющие общее основание AB и одинаковую меру площади.
Рис. 11
Тогда высоты параллелограммов равны и отрезки DC и EF лежат на одной прямой. На прямой AB отложим ряд отрезков BB1, B1B2, B2B3, …, AA1, A1A2, A2A3, … равных AB и через каждую точку деления проведем отрезки, равные по длине и параллельные AD и AF. Тогда полоса между параллельными прямыми AB и DE разобьется на ряд многоугольников. Каждый из этих многоугольников при параллельном переносе на расстояние, равное AB, и параллельно AB совмещается с другим, равным ему, многоугольником. Равные многоугольники отмечены одинаковыми цифрами. Остается заметить, что каждый из параллелограммов ABCD и ABEF составлены из попарно равных многоугольников. Следовательно, они равносоставлены.
Теорема 3. Два прямоугольника, имеющих одинаковую меру площади, равносоставлены.
