Прогнозирование банкротства компаний горнодобывающей отрасли (на примере …).

Поскольку любая выборка является случайной, то любая ее статистика также является случайной величиной. Следовательно, можно говорить о математическом ожидании, дисперсии и функции распределения случайной величины . Интерпретация оценки как случайной величины позволяет сформулировать свойства, которыми должна обладать статистическая оценка, чтобы ее можно было считать хорошим приближением к неизвестной генеральной характеристике θ.
Выбор оценки, т.е. функции (1.2), позволяющей получить «хорошее» приближение оцениваемого параметра, – основная задача статистического оценивания. В связи с этим возникает ряд вопросов: какую статистику можно считать наилучшей или по крайней мере «хорошей», т.е. какие требования нужно предъявить к оценкам. Затем следует решить вопрос о способе получения оценок (точечное оценивание); получив ту или иную оценку, необходимо определить точность полученных приближений (интервальное оценивание).
Для того чтобы выбранная оценка была наилучшей, она должна удовлетворять определенным требованиям, или обладать определенными свойствами. Это свойства состоятельности, несмещенности, эффективности.
Оценка θn называется состоятельной оценкой параметра θ, если θn сходится по вероятности к θ при n:
.
Состоятельность оценки означает, что чем больше объем выборки, тем больше вероятность того, что ошибка оценки не превысит сколь угодно малого положительного числа ε. Выполнение условия состоятельности гарантирует от грубых ошибок в оценке неизвестного параметра при достаточно больших объемах выборки.
Оценка θn называется несмещённой оценкой параметра θ, если математическое ожидание θn равно оцениваемому параметру θ , т.е.
.
Если это равенство не выполняется, то оценка может быть либо завышенной, либо заниженной. В обоих случаях это приводит к систематическим ошибкам в оценке параметров. Требование несмещенности гарантирует отсутствие систематических ошибок при оценке параметров. Поэтому, во многих случаях естественно требование несмещенности оценки. Однако, если оценка уже является состоятельной, то при большом объеме выборки требованием несмещенности часто пренебрегают. Требование несмещённости особенно важно при малом объеме выборки.
Оценка θn называется эффективной в определенном классе оценок параметра θ, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных оценок того же самого класса оценок параметра θ, вычисленных по выборке одного и того же объема:
.
Оценка называется асимптотически эффективной, если с увеличением объема выборки ее дисперсия стремится к нулю, т.е.
.
Справедливо следующее утверждение: если и при , то – состоятельная оценка параметра θ.
Оценки, являющиеся линейными функциями от выборочных наблюдений, называются линейными. Очень важную роль в эконометрике играют так называемые наилучшие линейные несмещенные оценки, или коротко BLUE-оценки (Best Linear Unbiased Estimators). Такие оценки, являясь линейными и несмещенными, имеют наименьшую дисперсию среди всех возможных оценок данного класса.
На практике при оценке параметров не всегда удается удовлетворить всем выше рассмотренным требованиям. Так, например, может оказаться, что для простоты расчетов целесообразно использовать незначительно смещенную оценку. Наиболее сложным является вопрос о нахождении эффективных оценок. Поэтому на практике часто используются оценки, которые являются не самыми эффективными.