Отметим, что роль числа в современном мире не стоит умалять. Любой процесс, любое явление можно описать с помощью применения математического инструментария, основным понятием которого является число. На наш взгляд, закономерность явлений природы, экономических явлений, в военном деле, медицине, музыке можно выявить через выявленную закономерность простых чисел, так как именно простое число является базисом для построения великого множества моделей для решения поставленных задач.
1.2 Эволюция криптографии как главного способа применения простых чисел
Формально криптография (с греческого – «тайнопись») определяется как наука, обеспечивающая секретность сообщения. Первый научный труд о криптографии написал Эней Тактик задолго до н.э. Свои данные пытались шифровать еще Индия и Месопотамия, но первые надежные системы защиты были разработаны в Китае. Писцы Древнего Египта часто использовали изощренные способы письма, чтобы привлечь внимание к своим текстам. Чаще всего шифровка информации использовалась в военных целях: широко известен шифр «Скитала», примененный Спартой против Афин в V веке до н.э. (приложение 1).
Криптография активно развивалась в Средние века, шифровками пользовались многочисленные дипломаты и купцы. Так, в XV в. был создан «Манускрипт Войнича». Одним из самых известных шифров Средних веков называют кодекс Copiale – изящно оформленную рукопись с водяными знаками, не расшифрованную до сих пор. Эпоха Возрождения стала золотым веком криптографии: ее изучением занимался Фрэнсис Бэкон, описавший семь методов скрытого текста. Он же предложил двоичный способ шифрования, аналогичный использующемуся в компьютерных программах в наше время. Значительное влияние на развитие криптографии оказало появление телеграфа: сам факт передачи данных перестал быть секретным, что заставило отправителей сосредоточиться на шифровке данных [6].
Однако криптография прошлых веков имела одну важную проблему: проблему распределения ключей. Существовали так называемые симметричные шифры, с их помощью данные шифровались и расшифровывались одним и тем же ключом, который должен быть передан всем взаимодействующим сторонам. Если таких сторон становилось слишком много, а каналы распределения были небезопасны, то секретный ключ могли перехватить злоумышленники. Проблема распределения ключей была решена в 1976 году американскими криптографами Уитфилдом Диффи и Мартином Хеллманом, которые предложили метод получения секретных ключей при помощи открытого канала. С этого момента начинается развитие ассиметричных криптосистем.
Ассиметричное шифрование предполагает наличие у каждой из сторон двух ключей (публичного и приватного). Принимающая сторона перед приемом сообщения генерирует свою пару ключей. Отправитель получает публичный ключ и шифрует данным ключом сообщение, после чего сообщение можно расшифровать только приватным ключом, который хранится в секрете у принимающей стороны. Генерация пары ключей происходит на основе алгоритма модульной арифметики. Это функция, после применения которой практически невозможно получить исходное значение. Современному компьютеру понадобятся долгие годы вычислений, чтобы расшифровать такой ключ. Поэтому на алгоритме Диффи-Хеллмана основано большинство систем безопасности. Разрушить эти системы гипотетически может только квантовый компьютер.
В модульной арифметике арифметические операции выполняются над целыми числами в модульном представлении (то есть в системе классов вычетов). Это значит, что вместо того, чтобы представлять число в системе счисления с фиксированным основанием, его представляют вычетами по модулям из множества попарно взаимных простых чисел [1, с. 323].
Действительно, главной проблемой современной криптографии, по нашему мнению, является сложность вычисления простых чисел, однако решению данной проблемы посвящено множество работ. Как использование простых чисел, так и необходимость шифровки информации является неотъемлемым в человеческом обществе, развитие науки криптографии и расширение знаний в области теории чисел должны происходить параллельно, постоянно и в совокупности.
