Признаки равномерной сходимости рядов

Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности fnx, существует такая предельная функция f(x), к которой эта последовательность сходится, т.е. ℰ 0, N N, n N , хХ fnx-f(x) <E2 . При тех же условиях существует такой номер N, что при (n p) N будет выполняться неравенство:
fn+px-f(x) <E2 .
Если сложить эти два неравенства и воспользоваться свойством модуля разности двух действительных чисел: x-y≤x+y, тоfn+px-fnx=fn+px-fx-(fnx-f(x))≤fn+px-f(x)+fnx-f(x)<(E2+E2)<E
Следовательно, fn+px-f(x)<E ℰ 0, n N , pN.
Доказательство достаточности
Пусть ℰ 0 N N: n N , pN, хХ: fn+px-f(x)<E
Требуется доказать, что fnxравномерно сходится к предельной функции f(x) на X.
По условию достаточности выполняется неравенство fn+px-fn(x)<E. Какое бы х из Х не было взято, функциональная последовательность в этой точке fnx является числовой последовательностью. Следовательно, выполняется критерий Коши сходимости числовой последовательности, т.е. последовательность {fnx} сходится в каждой точке хХ .
Значит, хХ у функциональной последовательности fnx существует конечный предел, а это доказывает существование предельной функции для функциональной последовательности: limn→∞fnx=f(x), т.е. выполняется неравенство: fn+px-fn(x)<E, перейдем к пределу при р, а постоянном n,неравенство: fx-fn(x)<E — условие равномерной сходимости функциональной последовательности по определению.
Теорема доказана.