Преобразование …

В учебнике Мордковича А.Г. «Алгебра и начала математического анализа.11 класс» [3] рассматриваемая нами тема изложена в §8 «Понятие степени с любым рациональным показателем» (глава 2) . Содержание данного параграфа начинается с обобщения умений вычислять значение степени с любым целочисленным показателем, руководствуясь при этом следующими утверждениями:
Если n=1, то a1=a.
Если n=0 и a≠0, то a0=1.
Если n=2, 3, …, то an=a∙a∙…∙a (n множителей).
Если n=1, 2, 3, … и a≠0, то a-n=1an.
Далее в параграфе поднимается вопрос: какой смысл придается в математике понятию степени с дробным показателем. Выясняют, что означают следующие символы математического языка: 235, 5-0,3 и т.д.
Повествование изучения данной темы здесь идет с точки зрения рассмотрения данного вопроса в истории развития математики.
Например, хорошо бы, рассуждали математики, чтобы сохранялись привычные свойства степеней [3]. Так при возведении степени в степень показатели перемножались, в частности, чтобы выполнялось следующее равенство:
2355=235∙5=23.
(2)
Пусть a=235, тогда равенство (2) представим в виде
a5=23⇒a=523.
Таким образом, появились основания определить 235 как 523. Данные соображения и дали возможность математикам принять следующее определение.
Определение.
Если pq – обыкновенная дробь (p>0, q>0, q≠0) и a≥0, то под apq понимают qap, т.е.
apq=qap, a≥0.
Как и в предыдущем учебнике, в этом вводятся свойства для степеней с рациональным показателем с последующим их доказательством.
Особое внимание в данном параграфе отводится рассмотрению иррациональных уравнений (уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или возводится в дробную степень). Описываются основные методы решения таких уравнений: метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень, метод введения новых переменных, функционально-графический метод. Говориться и про появление посторонних корней при возведении в четную степень обеих частей уравнения.
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Базовый уровень. 10 класс: учебник / Г.К. Муравин, О.В. Муравина. – М.: Дрофа, 2015.
В учебнике Муравина Г.К. [10] изложение данной темы начинается так: «В случае, когда m делится на n, корень nam можно заменить степенью amn:
339=393=33, 52-10=2-105=2-2 и т.д.
Если же целое число m не делится на натуральное число n, то число mn является дробным».
Далее вводится определение степени с дробным показателем, показывается справедливость свойств степеней и с рациональным показателем.