Рассмотрим некоторую функцию f, заданную во всех точках окрестности точки x0, кроме, быть может, точки x0; пусть ω = (ω1, …, ωп) – произвольный вектор длины единица ( ω = 1) и t > 0 – скаляр. Точки вида x0 + tω (0 < t) образуют выходящий из x0 луч в направлении вектора ω. Для каждого ω можно рассматривать функцию
(0 < t < δω)
от скалярной переменной t, где δω есть число, зависящее от ω. Предел этой функции (от одной переменной t)
если он существует, естественно называть пределом f в точке x0 по направлению вектора ω.
Будем писать , если функция f определена в некоторой окрестности x0, за исключением, быть может, x0, и для всякого N > 0 найдется δ > 0 такое, что f(x) > N, коль скоро 0 < x – x0 < δ.
Можно говорить о пределе f, когда х → ∞:
(14)
Например, в случае конечного числа А равенство (14) надо понимать в том смысле, что для всякого ε > 0 можно указать такое N > 0, что для точек х, для которых x > N, функция f определена и имеет место неравенство .
Итак, предел функции f(x) = f(x1, …, хп) от п переменных определяется по аналогии так же, как для функции от двух переменных.
Таким образом, перейдем к определению предела функции нескольких переменных.
Число А называется пределом функции f(M) при М → М0, если для любого числа ε > 0 всегда найдется такое число δ > 0, что для любых точек М, отличных от М0 и удовлетворяющих условию ММ0 < δ, будет иметь место неравенство f(M) – А < ε.
Предел обозначают В случае функции двух переменных
Теоремы о пределах. Если функции f1(M) и f2(M) при М → М0 стремятся каждая к конечному пределу, то:
