Самый простой и самый важный пример геометрии на поверхности, не считая плоскости, представляет геометрия на сфере. Поверхность Земли является в довольно хорошем приближении сферой, поэтому тут речь идет практически о геометрии на Земле, рассматриваемой в больших масштабах. Над Землей простирается небесная сфера, та воображаемая сфера, на которой нам представляются движения небесных светил. Их видимое расположение подчиняется, стало быть, геометрии на сфере. Поэтому эта геометрия, как ее еще называют «сферическая геометрия», составляет геометрическую основу наблюдательной астрономии. Именно в этой связи начала сферической геометрии были разработаны еще греческими геометрами.
Рис. 3
На сфере кратчайшими линиями, соединяющими две точки, являются дуги больших окружностей, не большие полуокружности (рис. 3, а). В частности, дуга большой окружности короче дуги параллели, отличной от экватора, между теми же точками на земной поверхности (рис. 3, б). Поэтому при дальних полетах и плаваниях, если возможно, летят или плывут не по постоянной широте, а в северном полушарии забирают на север − по дуге большой окружности. Например, кратчайший полет из Москвы до Хабаровска проходит над далеким севером Сибири.
Между геометрией на сфере и геометрией на плоскости много общего. Роль прямых на сфере играют большие окружности, но каждые две из них пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.
Окружность на сфере в смысле ее внутренней геометрии является обычной окружностью (рис. 4), но ее центр лежит на самой сфере, радиус − это дуга большой окружности, а не прямолинейный отрезок.
Рис. 4
На сфере выполняются теоремы о равнобедренном треугольнике, о равенстве треугольников, о точках пересечения биссектрис и медиан, о перпендикулярности радиуса и касательной к окружности и т. п. Главное в этих результатах то, что на сфере возможно свободное движение фигур в такой же степени, как на плоскости.
Все движения сферы, очевидно, порождаются движениями пространства, имеющими центр сферы своей неподвижной точкой, и обратно: каждое такое движение пространства дает движение сферы. Поэтому основные теоремы о движениях сферы могут быть получопределенноены из теорем. Согласно этим теоремам любое движение сферы есть либо ее поворот вокруг двух диаметрально противоположных точек, либо композиция такого поворота с отражением относительно большой окружности, имеющей эти точки сроим центром на сфере.
Словом, все сказанное о геометрии на сфере можно строго выразить в понятиях именно ее внутренней геометрии. Сделаем это для сферических многоугольников.
3.2. Сферические многоугольники и их площадь.
Поскольку роль отрезка в сферической геометрии играет дуга большой окружности (не большая полуокружности), то ломаной на сфере естественно называется фигура, составленная из таких дуг, подобно тому как составлена ломаная на плоскости из отрезков (рис. 5, а). Как и в планиметрии, замкнутая ломаная на сфере называется простой, если она не имеет самопересечений. Каждая простая замкнутая ломаная на сфере разбивает ее на две области, которые называются сферическими многоугольниками (рис. 5, б). Сама ломаная при этом называется границей этих многоугольников, а ее звенья и вершины соответственно сторонами и вершинами ограниченных ею многоугольников.
На плоскости многоугольник с наименьшим возможным числом сторон − это треугольник. На сфере имеются двуугольники (рис. 5, в), две вершины которыхдиаметрально противоположны, а стороны которых являются двумя полуокружностями больших окружностей.
