Периодические цепные дроби и их приложение

В процессе поиска наилучшего приближения значений квадратных корней итальянский математик Пиетро Антонио Катальди (1552–1626) пришел в 1613 г. к цепным дробям, с чего и началось их изучение. Правда, они встречались почти на 40 лет раньше в «Алгебре» другого итальянского математика – Рафаэля Бомбелли (ок. 1526–1572). Но Катальди выделил цепные дроби в отдельный тип, выявил некоторые их свойства [6, c. 253].
Современное обозначение непрерывных дробей предложил выдающийся нидерландский ученый Христиан Гюйгенс (1629–1695). Гюйгенс был не только знаменитым физиком, он был и замечательным математиком, удивительным изобретателем и конструктором. К тому же он писал неплохие стихи.
К цепным дробям Гюйгенс вынужден был обратиться (1680) при построении планетария в Париже. Он хотел получить наилучшие приближения для отношений периодов обращения планет. Эти отношения и отношения чисел зубцов соответствующих связанных между собой шестерен планетария должны были совпадать. Но число зубцов шестерен по техническим причинам не могут быть очень большими. Необходимо было так их подобрать, чтобы полученные отношения как можно меньше отличались от истинных. Гюйгенс обратился к цепным дробям и с их помощью нашел решение стоящей перед ним задачи. При этом он детально изучил теорию цепных дробей [6, c. 254].
Рассмотрим некоторые приложения цепных дробей.
Календарь и подходящие дроби.
Что такое год? Это время, за которое Земля совершает по своей орбите полный оборот вокруг Солнца. Астрономы подсчитали, что год составляет 365 сут 5 ч 48 мин 46 с или 365,242199 сут. Но пользоваться таким сложным числом очень неудобно. Хотелось бы, чтобы в году было целое число суток. Предположим, что продолжительность года равна 365 дням. Но тогда окончание каждого года приходилось бы всякий раз на новую точку на орбите, отстоящую от предыдущей на величину, которую Земля проходит примерно за 6ч.
Какой же из этого выход? Древнеримские жрецы, ведавшие исчислением времени, произвольно удлиняли некоторые года, чтобы согласовать календарные даты с сезонными явлениями природы. Впервые порядок в счете времени навел в I в. до нашей эры римский император Юлий Цезарь. Он постановил считать одни годы по 365 суток, а другие по 366 суток, чередуя их по правилу три года подряд коротких, четвертый – длинный. Гораздо позже, с введением христианского летоисчисления, високосным стали считать каждый год, порядковый номер которого делится на 4. Этот календарь в честь Юлия Цезаря называется юлианским. По нему продолжительность суток составляет 365 сут 6 ч, что больше истинной лишь на 11 мин 14 с. Однако и это решение оказалось неудовлетворительным. К XVI в. ошибка, накапливаясь, составила уже около 10 сут.
Следующую реформу календаря провел Григорий XIII – папа римский. Было решено: сдвинуть числа на 10 дней, оставить чередование простых и високосных лет, при этом, если порядковый номер года оканчивается двумя нулями, но число сотен не делится на 4, то этот год простой. В настоящее время расхождение между юлианским и новым, григорианским календарями составляет 13 дней, поскольку с тех пор накопилось еще три дня (в 1700, 1800 и 1900 гг.). Продолжительность григорианского года составляет365,2425 сут, т.е. 365 сут 5 ч 49 мин 12 с, т.е. она больше истинной лишь на 26с. Полученная точность очень велика и вполне достаточна для практических нужд.
Интересная система календаря была предложена среднеазиатским математиком и поэтом Омаром Хайямом (ок.1048-1122), по ней високосными годами должны были считаться 8 лет из каждых 33. Продолжительность года по О. Хайяму составляет 365 сут, его погрешность всего 19с в год.
В 1864 г. русский астроном И. Медлер предложил с XX столетия ввести в России следующую поправку к юлианскому календарю: через каждые 128 лет пропускать один високосный год из 32, которые выпадают на этот период. Этот календарь самый точный из всех перечисленных. Здесь погрешность сокращается всего до 1с. Однако календарь И. Медлера не был принят, видимо, из-за того, что период в 128 лет не является «круглым» числом.
Системы календаря оказываются связанными с записью астрономического года в виде цепной дроби: