Особые точки дифференциальных уравнений

Согласно теореме существования и единственности решения через каждую точку, в которой функции и непрерывны, проходит одна единственная интегральная кривая. Если в данной точке эти условия нарушены, то это означает, что через эту точку либо вообще не проходит ни одна интегральная кривая, либо проходит несколько. Возьмем, например, уравнение ; из (рис.1) видно, что через начало координат проходит бесчисленное множество его интегральных кривых. Это противоречит теореме, так как в точке (0,0) условия теоремы существования нарушены: правая часть уравнения становится неопределенной.
Точки, в которых условия теоремы существования и единственности решения нарушаются, называются особыми точками.
Особые точки дифференциальных уравнений первого порядка.
Прежде всего условимся переменные и считать разнонаправленными; это значит, что с равным основанием можно рассматривать как функцию от или как функцию от . При этом нам придется уточнить определение особой точки. Возьмем уравнение . Точка (0,0) является для него особой, так как правая часть разрывна при . Если же считать функцией, а — независимой переменной и переписывать уравнение в виде , то точка (0,0) перестает быть особой, так как теперь правая часть, разумеется удовлетворяет всем условиям теоремы существования. Единственным решением этого последнего уравнения при заданном начальном условии будет функция . Интегральной кривой является парабола, касающаяся оси ординат в начале координат.
Таким образом, через точку (0,0) проходит одна интегральная кривая, и нам нет смысла считать эту точку особой. То же самое можно сказать. То же самое можно сказать и о любой другой точке оси абсцисс.
Поэтому в дальнейшем будем считать особой только такую точку , в которой разрывные правые части обоих уравнений
и .
Именно такой случай имеет место для уравнений
и (2)
в начале координат. Функции в правых частях не имеют предела x и y к нулю.
Примем классификацию точек, в которых нарушаются условия теоремы:
1)Точка не принадлежит области определения функции . Это значит, что эта точка не может использоваться в качестве начальных условий в задаче Коши и является особой точкой. В общем случае особые точки заполняют линию : в этом случае особых точек бесчисленное множество.
2)Если точка принадлежит области определения функции , но в ней не существует производная , то эта точка может использоваться в качестве начальных условий в задаче Коши. Далее будем различать случаи:
▪ в точке нарушена единственность решения → точка особая;
▪ в точке не нарушена единственность решения → точка обычная.
3) Если в каждой точке линии нарушена единственность решения уравнения, то линию, являющуюся решением уравнения, называют особым решением уравнения.
Приведем несколько примеров использования уравнений типа (2).
Примеры.
1) . Разделяя переменные и интегрируя, получим , откуда . Это уравнение семейства парабол; записав дифференциальное уравнение в виде , найдем еще два частных решения и . Все интегральные кривые проходят через особую точку- начало координат (рис. 2) такая особая точка называется узлом.