Основные уравнения гидродинамики идеальной жидкости

Круглые скобки в (3) и далее снова означают скалярное произведение векторов. Чтобы получить полную массу вещества, пересекающую изнутри наружу всю границу S объема V, нужно проинтегрировать (3) по поверхности S рассматриваемого объема. Этот интеграл равен массе вещества, покидающего объем V за время dt, следовательно, он равен dM. Учитывая (2), получаем
(4)
По теореме Остроградского-Гаусса [2]:
(5)
Используя (5) в (4), приходим к равенству
(6)
При выводе равенства (6) мы не делали каких-либо оговорок относительно формы или размера объема V, по которому осуществляется интегрирование. Следовательно, это равенство выполняется для любого объема интегрирования, что возможно только в том случае, если подынтегральные выражения в (6) тождественно равны. Учитывая это, мы приходим к уравнению (1). Отметим также, что при выводе этого уравнения мы не использовали никаких предположений о физических свойствах среды, за исключением непрерывности ее скорости и плотности. Следовательно, уравнение (1) в приближении сплошной среды описывает соотношение скорости и плотности в любом веществе независимо от его физической природы.
Уравнение неразрывности (1) можно упростить в важном частном случае, когда движущуюся среду можно считать несжимаемой, то есть можно пренебречь изменением ее плотности в гидродинамическом потоке. Опыт показывает, что реальные жидкости имеют очень низкую сжимаемость. Как правило, при решении задач гидродинамики жидкости они находятся в несжимаемой среде. Полагая в (1) плотность постоянной величиной, получаем
(7)
Соотношение (7) называется уравнением не сжимаемости. Уравнения неразрывности недостаточно, чтобы найти две скалярные величины — плотность жидкости и давление в ней, а также три компоненты скорости течения.