Пусть вал вращается с постоянной угловой скоростью по часовой стрелке. Если угол отклонения маятника от вертикали (t) меняется с течением времени, то сила сухого трения в подвесе, нелинейно зависящая от относительной скорости муфты и вала также будет меняться во времени (- угловая скорость муфты). Момент этой силы Мтр будет оказывать периодическое воздействие на маятник, поддерживая его колебания. На рисунке 5 изображена нелинейная зависимость Мтр от относительной угловой скорости муфты и вала.
Рисунок 5 – Зависимость момента силы треня от угловой скорости
На изображенной кривой имеется точка перегиба P. Подберем скорость вращения вала такой, чтобы в отсутствие колебаний попасть в эту точку. В этом случае к муфте маятника будет приложен постоянный момент силы трения: Мтр = М0. Для дальнейшего анализа более удобно воспользоваться зависимостью изображенной на рисунке 6.
Рисунок 6 – Зависимость момента силы треня от угловой скорости (линейный участок)
Следует подчеркнуть, что начальное (линейное) нарастание Мтр с угловой скоростью обеспечивает условие для самопроизвольного нарастания колебаний из флуктуации, что эквивалентно наличию положительной обратной связи, а последующее замедление роста Мтр при увеличении является причиной нелинейного ограничения нарастания колебаний: амплитуда смещения маятника (а значит и амплитуда его скорости достигнет максимальной (установившейся) величины, что эквивалентно наличию нелинейного ограничителя.
Отклоним осторожно маятник от вертикали на угол 0 такой, чтобы момент силы трения, действующий на неподвижный маятник, М0 = Мтр(0) был уравновешен моментом силы тяжести М(0)=mgasin0. Здесь m — масса маятника, a — расстояние от вала до центра масс маятника. На первый взгляд, может показаться, что маятник так и останется висеть под углом 0 к вертикали. На самом деле это положение будет неустойчивым. Представим, что в результате ничтожного толчка маятник приобретет небольшую угловую скорость . При этом возрастут моменты сил тяжести M и трения Мтр и условие равновесия может нарушиться. Если начальный наклон кривой достаточно велик (сильная положительная обратная связь), то . Это означает, что угловая скорость будет нарастать. Однако затем это нарастание прекратится, т.к. из-за нелинейного загиба кривой равенство моментов опять восстановится (сработает механизм нелинейного ограничения): . Этому условию соответствует точка R+ на кривой . После этого угловая скорость начнет уменьшаться, поскольку с ростом угла момент M() продолжает расти, а — убывать. Следовательно, маятник спустя какое-то время остановится, а его угол отклонения достигнет максимальной величины max. Поскольку в этот момент M(max) то маятник начнет двигаться в обратном направлении. Момент силы тяжести начнет уменьшаться, а момент силы трения будет также уменьшаться, но быстрее, чем момент силы тяжести (опять срабатывает положительная обратная связь). Сначала это движение будет ускоренным, пока M > Mтр (до точки R), а затем при M < Mтр — замедленным (до точки P). Остановившись при некотором угле наклона min маятник опять движется влево, т.к. все еще M < Mтр. Наконец, он достигает стартовой позиции, однако приобретенная им скорость будет больше скорости начального толчка. Таким образом, в течение одного периода колебаний увеличилась энергия маятника за счет ее заимствования от устройства, вращающего вал. В последующие периоды колебаний точки R+ и R- на кривой будут сдвигаться в разные стороны, однако из-за нелинейности кривой этот сдвиг прекратится (срабатывает механизм нелинейного ограничения), и колебания установятся.
Чтобы описать колебательный процесс, запишем уравнение вращательного движения маятника с моментом инерции I:
.(16)
В этом уравнении мы пока пренебрежем моментом силы вязкого трения, действующей на движущийся маятник. Момент силы сухого трения в подвесе, нелинейно зависящий от угловой скорости , можно аппроксимировать следующим выражением .
где k1;2 — размерные коэффициенты, определяющие обратную связь и нелинейное ограничение соответственно. Если колебание описывать углом отклонения от положения неустойчивого равновесия, задаваемого углом : то mgasin = mga(sin0cos + cos0sin). Для малых углов : cos 1, sin . Если учесть далее, что , то уравнение (16) примет вид:
.(17)
Это уравнение является нелинейным дифференциальным уравнением и не имеет аналитического решения. В теории колебаний развиты методы, позволяющие решить его приближенно, исследовать условия, при которых возможно самовозбуждение колебаний, и найти амплитуду 0 и частоту установившихся колебаний: (t)=0sint. Мы же поступим более просто и определим 0 из условия энергетического баланса.
Поскольку k1;2 малы, то частота колебаний приближенно равна: = (mgacos0/I)1/2. Подсчитаем работу за период колебаний совершаемую устройством (например, электродвигателем), вращающим вал. Она, очевидно, равна: . Здесь учтено, что интегралы по времени от и равны нулю, поскольку. Потери энергии в скользящем подвесе за это время составят величину.
На рисунке 7 изображены зависимости А и Q от амплитуды 0.
