Модели распространения эпидемий

Большинство моделей было разработано и использовано для прогнозирования уровня заболеваемости в краткосрочной перспективе, что, скорее всего, зависит от потребностей противоэпидемической службы в своевременной подготовке и реализации эффективных профилактических, противоэпидемических и терапевтических мер в практических условиях. Лишь несколько моделей посвящены исследовательским задачам, связанным с выбором оптимальной тактики борьбы с заболеваемостью.
За многие годы существования человека большое количество людей умерло от различных эпидемий. Чума, холера, грипп и т. д. часто поражали значительное количество людей. Чтобы иметь возможность бороться с эпидемиями, т.е. при своевременном применении определенных медицинских мер (карантин, прививки и т. д.) необходимо уметь сравнивать эффективность этих мер. Их можно сравнивать только в том случае, если можно предсказать, как изменится ход эпидемии во время конкретного события, т.е. как будет меняться число заболевших.
Следовательно, необходимо создать модель, которая могла бы служить цели прогнозирования.
Для простоты мы смотрим на естественное течение эпидемии без вмешательства и пытаемся предсказать последствия.
Поскольку нашей целью является создание только описательной модели, мы абстрагируемся от многих факторов (условия для размножения бактериальных клеток, степень восприимчивости инфекции к людям, вероятность того, что человек, переносящий инфекцию, встретит здорового человека и т. д.).
Таким образом, существует N здоровых людей, и в момент времени t = 0 больной попадает в эту группу — источник инфекции. Мы предполагаем, что пациенты не будут удалены из группы. Мы также считаем, что человек становится источником инфекции сразу после заражения.
Допустим в некоторый момент времени t
X(t) – число источников инфекции,
Y(t) – число людей, могущих заболеть,
Тогда имеем X(t)+Y(t)=N+1 в любой момент времени.
При t=0 выполняется условие X(0)=1
Количество новых больных dX, появившихся за промежуток времени dt, будет пропорционально числу встреч здоровых и заболевших людей, т.е. произведению величин XY. Следовательно, можно записать
 или ,
где a – коэффициент пропорциональности.
Полученное дифференциальное уравнение вместе с условием X(0)=1 определяет функцию X(t), т.е. численность заболевших в момент времени t.
Найдем общее решение, предварительно разделив переменные.
Чтобы взять первый интеграл, разделим числитель и знаменатель дроби на  и введем новую переменную , тогда , и отсюда .
Заменим под интегралом переменную, получим