МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АНТИГЕННОЙ ИЗМЕНЧИВОСТИ ВИЧ

Для описания таких релейных процессов функции 1(t) и 2(t) (3) необходимо модифицировать. Наряду с усилением защитных функций организма под воздействием лекарственных препаратов здесь необходимо описать эффект ослабления этих функций при прекращении введения лекарств. Возникает определенная динамика изменения во времени функций 1(t) и 2(t), одна из характеристик которой отражена в формулах (3). Модифицированная динамика функций 1(t) и 2(t), сохраняющая определяемые параметрами c1 , c2 и c3 характеристики динамики функций (3) и в то же время отражающая релейный характер процесса лечения, может быть описана дифференциальными уравнениями
d1(t) / dt = c1 [1– 1(t) – u1], 1(0) = 1, (4)
d2(t) / dt = c2 (1 c3) -1 [1– 2(t) + u2(c3 – 1)], 2 (0) = 1,
Здесь u1 и u2 – управляющие переменные, работающие по следующему правилу: в интервалах приема лекарств u1 = 1, u2 = 1, в интервалах отмены лекарств u1 = 0, u2 = 0. Для интервалов приема лекарств решениями дифференциальных уравнений (4) являются функции (3). Уравнения (4) выведены в тех предположениях, что скорости убывания функций 1(t) и 2(t) при приеме лекарств и скорости их роста при отмене лекарств, вблизи области интенсивного изменения этих функций, равны. Действительно, положив u1 = 1, u2 = 1, получим уравнения, эквивалентные (3). При отмене лекарств (u1 = 0, u2 = 0) значения функций 1(t) и 2(t) стремятся с увеличением времени к своим первоначальным значениям 1 = 1 и 2 = 1 (3), причем производные по времени c1 и c2 этих функций в состояниях, максимально удаленных от равновесных (при 1 = 0 и 2 = c3), равны с обратным знаком их производным в уравнениях (3), описывающих прием лекарств.
В результате введения новых управляющих функций управляемая модель динамики ВИЧ-инфекции состоит теперь из семи уравнений (1), (4) и содержит пять прежних фазовых переменных T, TS, Tr, VS, Vr, две новых фазовых переменных 1 и 2 и две управляющие переменные u1 и u2.
При заданных функциях управления u1= u1(t), u2= u2(t) решается задача Коши для системы (1), (4) с заданными начальными условиями. Таким образом, определяется ее траектория
x(t) = { T(t), TS(t), Tr(t), VS(t), Vr(t) , 1(t), 2(t) }, tнttк, (5)
и, в конце траектории, на гиперповерхности, значение функционала (5)
J [u1(t), u2(t)].(6)
При измененных функциях управления, которые обозначим через u1и= u1(t) + u1(t), u2и= u2(t) + u2(t), функционал (5) принимает значение
J [u1(t) + u1(t), u2(t) + u2(t)] (7)
Разность между значениями функционала (6) и (7)
J = J [u1(t) + u1(t), u2(t) + u2(t)] — J [u1(t), u2(t)](8)
вычисляется с помощью уравнений для сопряженных.
Подставляя исходное управление u1= u1(t), u2= u2(t) и соответствующую ему траекторию (5) в правую часть системы уравнений для сопряженных уравнений, интегрируем ее с учетом условий трансверсальности и условий скачка в обращенном времени и вычисляем вектор-функцию сопряженных переменных
p(t) = { pT(t), pTS(t), pTr(t), pVS(t), pVr(t), p1(t), p2 (t)}, tк t tн(9)
С помощью вычисленных вектор-функций (5) и (9) изменение функционала (8) в рассматриваемой задаче определяется формулой
J = J1 + J2 + о[J1, J2], (10)
где
(11)
и о[J1, J2] – погрешность, определяемая величиной более высокого порядка малости, чем J1 и J2 .