Основные предположения SIR-модели заключаются в следующем. Во-первых, скорость инфицирования восприимчивых особей подчиняется «закону действия масс», то есть пропорциональна количеству встреч между представителями групп. Во-вторых, скорость перехода из группы инфицированных в группу приобретших иммунитет/удаленных, пропорциональна количеству инфицированных. Таким образом, мы приходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений
,(3)
в которой и считаются положительными константами. Величина имеет смысл среднего времени пребывания зараженной особи в популяции (до приобретения иммунитета, смерти, или изоляции). Эта система носит название системы Кермака-МакКендрика (Kermack-McKendrick).
Задача 1. Для SIR-модели (3) показать, что
в случае функция монотонно убывает и ;
в случае функция сначала монотонно возрастает до значения
,
а затем монотонно убывает и ;
функция монотонно убывает, и величина является единственным корнем уравнения
в интервале .
Переходим к рассмотрению эндемической модели, так называемой SIR-модели, учитывающей рождения и смерти (SIR model with vital dynamics). Численность популяции по-прежнему считается постоянной, однако в правых частях уравнений системы (3) появляются новые слагаемые:
(4)
Добавленные слагаемые имеют простой смысл. Убыль каждой из трех частей популяции пропорциональна объему частей с коэффициентом рождаемости/смертности (численность популяции постоянна, поэтому коэффициенты рождаемости и смертности одинаковы). Слагаемое в первом уравнении говорит о том, что рождающиеся особи не инфицированы, но восприимчивы к заболеванию.
Задача 2. В случае решение системы (4) стремится к равновесию . Если и , любое решение стремится к эндемическому равновесию , .
