Эта задача при наличии только ограничений-равенств относится к классу классических задач квадратичной оптимизации — одному из наиболее изученных классов оптимизационных задач, для которых к настоящему времени разработано большое число достаточно эффективных алгоритмов. В частности, может быть применен классический метод неопределенных множителей Лагранжа, который гарантированно приводит к нахождению глобального минимума ввиду выпуклости риска. При этом позволяются отрицательные значения , что на практике означает короткие продажи. «Short Sale – продажа «без покрытия», или «короткая продажа». Продажа ценной бумаги взятой в долг у брокера. Впоследствии инвестор возвращает долг брокеру, покупая такую же ценную бумагу на торгах». Такое предположение не всегда допустимо.
Однако наложение дополнительных ограничений-неравенств, например:
существенно усложняет нахождение решения и, кроме того, не позволяет строить эффективную границу ввиду большого объема расчетов. Предложенное Марковицем решение основано на введенном им понятии угловых портфелей.
Для описания эффективной границы используется вспомогательная прямая линия. Изменяя наклон этой касательной от минимального до максимального значения, можно получить описание всей эффективной границы как совокупность точек касания. На плоскости строится множество прямых линий, описываемых следующим уравнением при различных а:
