Курсовая работа, диф уравнения

Полученное уравнение означает, что при действии линейного оператора A вектор V преобразуется в коллинеарный вектор λV, то есть является собственным вектором линейного преобразования A. Число λ в этом случае является собственным значением линейного преобразования А. Таким образом, мы приходим к выводу, что для того, чтобы векторная функция У(х)=eλхV являлась решением линейной однородной системы, необходимо и достаточно, чтобы число λ было собственным значением, а вектор V − соответствующим собственным вектором линейного преобразования A.
Собственные значения λ должны удовлетворять характеристическому уравнению линейного преобразования А: det(A−λЕ)=0. Множество всех собственных значений образует спектр преобразования А.
Вид общего решения однородной системы существенно зависит от кратности собственных значений. Здесь возможны следующие ситуации.
1. Корни характеристического уравнения действительны и различны. В этом случае каждому собственному значению λ соответствует один собственный вектор. Общее решение системы из n уравнений будет иметь вид:
, где С1, С2,…, Сn – произвольные постоянные.
2. Корни характеристического уравнения кратные, причем число линейно независимых собственных векторов для каждого собственного значения совпадает с его кратностью. Этот случай является аналогичным предыдущему. Общее решение системы: