Поскольку все величины, вводимые ниже, не будут зависеть от способа расстановки круглых и квадратных скобок в таких разбиениях, обычно любое из таких разбиений отождествляют с совокупностью точек x0, x1,…, xn. Мы так и будем делать в дальнейшем, а чтобы отличать подобного типа разбиения от произвольного множества точек x0, x1,…, xn, в котором точки xkникак не связаны между собой, будем обозначать их символомa=x0<x1<…<xn=b.
Определение 1.1 Пусть функция f задана на отрезке a;b. Тогда для неё вводятся следующие объекты:
1) τ=a=x0<x1<…<xn=b — разбиение отрезкаa;b;
2) ∆k=xk-1; xk — отрезок разбиения τ;
3) ∆xk=xk-xk-1 — длина отрезка разбиения ∆k;
4) λτ=max1≤k≤n∆xk — мелкость разбиения τ;
5) ξ=ξ1, ξ2,…, ξn, где ∀k ξk∈∆k — выборка, соответствующая разбиению τ;
6) σf; τ; ξ=k=1nf(ξk)∆xk — интегральная сумма Римана, соответствующая разбиению τ и выборке ξ.
Определение 1.2. Пусть функция f задана на отрезке a;b. Число Iназывается пределом интегральных суммσf; τ; ξпри мелкости разбиения λτ, cтремящейся к нулю, когда выполняется условие:
для любого ε>0 найдется такое δ>0, что для любого разбиения τ с мелкостью λτ<δ для любых выборок ξ выполняется неравенствоσf; τ; ξ-I<ε.
В краткой символической форме то же самое можно записать так:
limλ(τ)→0σf; τ; ξ=Idef∀ε>0 ∃δ>0 ∀τ : λ(τ)<δ⇒∀ξ σf; τ; ξ-I <ε.
Определение 1.3. В случае, когда существует конечный предел Iинтегральных сумм Римана, говорят, что функция f интегрируема по Риману на отрезке a, b, а сам этот предел обозначают abfxdx и называют (определённым) интегралом Римана (от функции f по отрезку a, b).
Иногда, желая подчеркнуть, что речь идет именно о римановом интеграле, пишут(R)abfxdx.
Замечание 1.1. В соответствии с общими принципами определения предела отметим, что
limλ(τ)→0σf; τ; ξ=∞≝∀E>0 ∃δ>0 ∀τ : λ(τ)<δ⇒∀ξ σf; τ; ξ >E.
Множество всех интегрируемых по Риману функций на отрезке a, b обозначаетсяRa, b.
Докажем необходимое условие интегрируемости:
Теорема 1.1. Если функция f интегрируема по Риману на отрезке a, b, то она ограничена на этом отрезке.
Доказательство. Пусть функция f интегрируема по Риману на отрезке a, b и I=abfxdx. По определению интеграла для ε=1найдётся такоеδ>0, что для любого разбиения τ=a=x0<x1<…<xn=b с мелкостьюλ(τ)<δи для любой выборки ξ=ξ1;…; ξn будет выполняться неравенство I-1<k=1nf(ξk)∆xk<I+1. Фиксируем разбиение τ, для которого выполнены неравенства
I-1<k=1nf(ξk)∆xk<I+1.
Предположим противное: Если функция f не ограничена на отрезке a, b, то для этого разбиения найдётся хотя бы один отрезок ∆k0, на котором она будет не ограничена. Фиксируем все точки ξk∈∆kпри k≠k0и рассмотрим интегральную сумму
σf; τ; ξ=k=1nf(ξk)∆xk=k≠1nf(ξk)∆xk+f(ξk0)∆xk0
