Итерационные методы решения СЛАУ вариационного типа

Итерационные методы решения СЛАУ (их второе название – методы последовательного приближения к решению) не дают точного решения СЛАУ, а дают только приближение к решению, причем каждое следующее приближение получается из предыдущего и является более точным, чем предыдущее (при условии, что обеспечена сходимость итераций). Начальное (или, так называемое, нулевое) приближение выбирается вблизи предполагаемого решения или произвольно (в качестве его можно взять вектор правой части системы). Точное решение находится как предел таких приближений при стремлении их количества к бесконечности. Как правило, за конечное число шагов (т.е. итераций) этот предел не достигается. Поэтому, на практике, вводится понятие точности решения, а именно задается некоторое положительное и достаточно малое число e и процесс вычислений (итераций) проводят до тех пор, пока не будет выполнено соотношение .
Здесь – приближение к решению, полученное после итерации номер n, а – точное решение СЛАУ (которое заранее неизвестно). Число итераций n=n(e), необходимое для достижения заданной точности для конкретных методов можно получить из теоретических рассмотрений (т. е. для этого имеются расчетные формулы). Качество различных итерационных методов можно сравнить по необходимому числу итераций для достижения одной и той же точности.
Среди итерационных методов особое место занимают методы вариационного типа, особенностью которых является то, что при их использовании нет необходимости знать границы спектра матрицы системы. К нам относятся метод минимальных невязок, метод минимальных поправок, метод наискорейшего спуска, метод сопряженных градиентов. Рассмотрим некоторые из них.