Процесс вытеснения, происходящий в прямолинейном тонком горизонтальном образце (рисунок 5), представлен однородной и изотропной пористой средой. Координата х отсчитывается вдоль образца, направление течения-горизонтальное. Поперечное сечение образца предположим очень малым, поэтому давление и насыщенность можно считать постоянными по сечениям. Давление в водяной и нефтяной фазах одинаковое, фазы несжимаемые, температура постоянна.
3.2 математическое описание процесса вытеснения одной жидкости другой
В рассматриваемый образец, первоначально заполненный нефтью, через сечение х=0 закачивается вода. В процессе вытеснения образуется зона совместного движения воды и нефти. При совместном течении двух фаз в пористой среде по крайней мере одна из них образует связную систему, граничащую со скелетом породы и частично с другой жидкостью[12].
Рисунок 5 — схема прямолинейно-параллельного вытеснения нефти водой
Из-за выборочного смачивания твердой породы водой площадь контакта каждой из фаз со скелетом пористой среды значительно превышает площадь контакта фаз между собой. [13].
Тогда закон фильтрации каждой фазы можно представить в виде обобщенного закона Дарси в дифференциальной форме:
(20)
где wв, Qв и wн, Qн — скорости фильтрации и объемные расходы соответственно воды и нефти;
ηв, ηн, — коэффициенты динамической вязкости фаз;
kв(s) и kн(s) относительные фазовые проницаемости;
s=sв — водонасыщенность.
Для рассматриваемого двухфазного течения водо- и нефтенасыщенность sн связаны очевидным соотношением
sв+sн=1(21)
Для воды изменение массы находим в направлении течения по оси х.Плотность ρв постоянна в связи с ее несжимаемостью:
