Легко проверить, что если функция f (х) дифференцируема в точке х0, то она непрерывна в этой точке, Как показывает пример функции f(x)= x , обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Поэтому класс дифференцируемых функций уже класса непрерывных функций. Следовательно, решением уравнения Коши в классе дифференцируемых функций является линейная однородная функция. [10]
Тем не менее, метод решения уравнения Коши в предположении дифференцируемости f(x) представляет интерес ввиду его простоты. При фиксированном у R f (х + у) и f(х) + f (у) являются функциями переменной х R. Ввиду их равенства, равны и их производные (по переменной x!). Продифференцировав обе части равенства (4), получим
(1.9)
(, как производная постоянной). Равенство (1.9) выполняется для любых х R, у R, так как у можно было выбрать произвольно, Положив в(1.9) х = 0, придем к тождеству
для всех у R. Итак, — постоянная функция. Поэтому ее первообразная
f (х) = сх + b (1.10)
где b — некоторое действительное число. Проверка показывает, что (1.10) удовлетворяет (4) только при b = 0, с R.
Существуют и другие классы функций, в которых аддитивная функция неминуемо будет являться линейной однородной, однако найден пример аддитивной функции и в классе разрывных функций. Этот пример построил Гамель. Построенная функция обладает следующим свойством: на любом (произвольно выбранном) интервале (a, b), пусть даже сколь угодно малом, функция f(x) не ограничена, т. е. среди значений, которые данная функция принимает на этом интервале, имеется и такое, которое больше любого наперёд заданного положительного числа. Для построения такой функции Гамель ввёл множество G действительных чисел, называемое теперь базисом Гамеля, которое обладает свойством, что любое действительное число x представимо и при том единственным способом в виде
,
Произвольно задав значения f(x) в точках множества G, можно однозначно продолжить её на всю числовую прямую при помощи равенства
