Эконометрика

Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют величину, называемую средним квадратичным отклонением (стандартным отклонением или стандартом), которая определяется значением корня квадратного из ее дисперсии, т.е.:
(1.6)
Дисперсия обладает следующими свойствами:
D(c) = 0, где c — постоянная величина;
D(kX) = k2D(X);(1.7)
D(X) = М(Х2) — а2, где a = M(X);
D(X ± Y) = D(X) + D(Y), где X и Y — независимые случайные величины.
D(c1X +c2Y) = c21D(X) + c22D(Y) +2c1c2CXY , где X и Y — случайные величины, а с1 и с2 – произвольные константы.
Упорядоченный набор Х = (Х1, Х2, … , Хn) случайных величин называется многомерной (n-мерной) случайной величиной (или системой случайных величин, n — мерным вектором). Например, рассматривая характеристику самолета могут быть выбраны следующие случайные величины Х = (Х1, Х2, … , Хn), где Х1 — максимальная дальность полета, км; Х2 — максимальное число перевозимых пассажиров, чел.; Х3 — крейсерская скорость, км/час; Х4 — состав экипажа, чел.; Х5 — длина разбега при определенной скорости, м; и т.д.
Ковариацией (или корреляционным моментом) Cov(X,Y) (другое обозначение Cxy) случайных величин X и Y называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий
Cxy = Cov(X,Y) = М[(Х- ах )۰(Y — ау)], где ах = М(Х), ау = M(Y).
Ковариация двух случайных величин характеризует как степень зависимости случайных величин, так и их рассеяние вокруг точки (ах, ау).
Оценкой ковариации служит величина, называемая выборочной ковариацией, рассчитываемая по формуле:
(1.8)
Данная оценка обладает свойством несмещенности.
Связь между оценкой и задается соотношением
(1.9)
Ковариация — величина размерная, что затрудняет ее использование для оценки степени зависимости случайных величин. Поэтому чаще используется коэффициент корреляции.
Свойства ковариации