Дифференциальные игры и их решение

Игра «шофер-убийца» предложена Р. Айзексом и описана в его отчете для RAND Corporation в 1951 г. В этой задаче «автомобиль» с ограниченным снизу радиусом разворота и постоянной по величине линейной скоростью преследует безынерционного «пешехода», скорость которого не превышает заданного значения. Слова «автомобиль», «пешеход» и название «шофер-убийца» оказались на редкость удачными, хотя в качестве реальных объектов Р. Айзекс подразумевал управляемую торпеду и увертывающийся от неё небольшой катер. Обозначим игроков буквами P и E. Описание динамики:
P : xp⋅=wsinθ E : xe⋅=v1
yp⋅=wcosθ ye⋅=v2 (1)θ⋅=wuR,u≤1 v=v1,v2′,v≤ρ
Здесь w — величина линейной скорости, R — минимальный радиус разворота. Нормируя время и геометрические координаты, можно считать, что w = 1, R = 1. Совмещая начало относительной системы координат с игроком P и направляя ось y по вектору его скорости, перейдем к системе
x⋅=-yu+vxy⋅==xu-1+vyu≤1,v=vx,vy’,v≤ν
Цель игрока P, распоряжающегося управлением u, — привести фазовый вектор как можно скорее на терминальное множество M — круг радиуса r с центром в начале координат. Второй игрок, распоряжающийся управлением v, препятствует этому. Управления строятся по принципу обратной связи. Р. Айзекс исследовал задачу шофер-убийца при помощи своего метода (1), основой которого является попятное построение (начиная с границы терминального множества) характеристик для соответствующего уравнения в частных производных первого порядка, заполнение ими первичной регулярной области, затем вторичной и так далее. Разделение регулярных областей производится при помощи сингулярных линий. Полностью решить задачу Р. Айзексу не удалось. Полное решение на основе усовершенствованного метода Айзекса было получено Э. Мерцем в его диссертации , выполненной под руководством Дж. Бреквелла. Э. Мерц проделал полный анализ характера оптимальных движений, описал сингулярные линии и установил закономерность их изменения в зависимости от параметров r, ν. При исследовании задачи им были открыты сингулярные линии, которые он назвал фокальными (оптимальные движения подходят с касанием с двух сторон к сингулярной линии и идут по ней). Полное решение находится в здании Стэнфордского университета.