Приём заказов:
Круглосуточно
Москва
ул. Никольская, д. 10.
Ежедневно 8:00–20:00
Звонок бесплатный

Датчики случайных величин

Диплом777
Email: info@diplom777.ru
Phone: +7 (800) 707-84-52
Url:
Логотип сайта компании Диплом777
Никольская 10
Москва, RU 109012
Содержание

Теоретической основой метода Монте-Карло являются предельные теоремы теории вероятностей. Они гарантируют высокое качество статистических оценок при весьма большом числе испытаний. Метод статистических испытаний применим для исследования как стохастических, так и детерминированных систем. Практическая реализация метода Монте-Карло невозможна без использования компьютера.

1.2. Построение и тестирование датчиков базовой случайной величины

Базовой случайной величиной (БСВ) в статистическом моделировании называют непрерывную случайную величину z, равномерно распределенную на интервале (0 < t < 1). Её плотность распределения вероятностей (п. р. в.) задаётся формулой
ft=1, 0≤t≤1 (1.1)
Математическое ожидание (м. о.) M(z) и дисперсия D(z) базовой случайной величины z имеют следующие значения:
Mz=12, Dz=112
Нетрудно определить и начальный момент k — го порядка:
Mzk=11+k
БСВ моделируются на ЭВМ с помощью программных датчиков БСВ. Датчик БСВ — это программа, выдающая по запросу одно случайное значение БСВ z е{0 < t < 1}. Путём многократного обращения к датчику БСВ получают выборку независимых случайных значений z1, z2, z3, … , zn.
Программный датчик БСВ обычно вычисляет значения zb z2, z3, … по какой-либо рекуррентной формуле вида
zi+1=fzi (1.2)
при заданном стартовом значении z0.
Заданное значение z0 полностью определяет всю последовательность z1, z2, z3, … , поэтому величину z на выходе датчика БСВ называют псевдослучайной величиной. В практическом применении датчиков БСВ статистические свойства псевдослучайной последовательности чисел в широких пределах идентичны свойствам «чисто случайной» последовательности.
Путём преобразования БСВ можно получать модельные реализации многих других случайных объектов, включая любые непрерывные или дискретные случайные величины (как простые, так и многомерные), случайные события, случайные процессы, графы, схемы и т. д. Поэтому БСВ z называют базовой случайной величиной.
Рассмотрим для примера мультипликативный конгруэнтный метод. Этот датчик БСВ однозначно задаётся двумя параметрами: модулем m и множителем к. Обычно эти параметры представляют собой достаточно большие целые числа.
Проводим моделирование по формуле:
Ai=kAi-1mod m, zi=Aim, (1.3)
где zi — очередное значение БСВ (0 < z < 1); m — модуль (большое число); k- множитель (большое целое число). А0 — заданное начальное значение (целое);mod — операция вычисления остатка.
Датчик дает периодическую псевдослучайную последовательность z1, z2, z3, … с длиной периода T < m — 1. Чтобы длина периода T была максимальной, модуль m берут близким к максимальному представимому в компьютере целому числу. Для упрощения операций деления и вычисления остатков в двоичных ЭВМ часто берут m=2k. Рекомендуется также брать достаточно большой множитель k, причем взаимно простой с m.
Обозначим равномерное распределение вероятностей на интервале (0, 1) через R[0,1]. Тогда утверждение, что БСВ z имеет распределение R[0,1], можно кратко записать в виде z ~ R[0,1].
С помощью статистических тестов проверяют два свойства датчика БСВ, делающих его точной моделью идеальной математической БСВ: во-первых, проверяют равномерность распределения чисел, выдаваемых датчиком на интервале (0, 1), и, во-вторых, их статистическую независимость. При этом последовательность псевдослучайных чисел z на выходе датчика рассматривают как статистическую выборку.
Проверка равномерности распределения БСВ сводится к построению эмпирических вероятностных характеристик (моментов и распределений) случайной величины (с. в.) z по выборке z1, z2, z3, … , zn и их сравнению с теоретическими характеристиками распределения R[0,1]. В силу закона больших чисел с ростом длины выборки n эмпирические характеристики должны приближаться к теоретическим. При этом, поскольку компьютер позволяет легко получать выборки весьма большой длины, такое сближение эмпирических и теоретических характеристик можно наблюдать непосредственно, без использования специальных статистических тестов.
В настоящее время, как правило, любые языки программирования и пакеты моделирования содержат встроенные датчики БСВ и необходимость в самостоятельной разработке или тестировании датчиков возникает редко.
Простейшую проверку статистической независимости БСВ можно осуществить, оценивая линейную корреляцию между числами zi и zi+s, отстоящими друг от друга в псевдослучайной последовательности на фиксированный шаг s > 1.
Рассмотрим теоретическое определение коэффициента корреляции двух произвольных с. в. х и у. Коэффициент корреляции определяется для них формулой
Rx,y=M(x∙y)-Mx∙MyDx∙Dy (1.4)
Если х ~ R[0,1] и y ~ R[0,1], то M(x) = M(y) = 1/2 и D(x) = D(y) =1/12, и формула принимает следующий вид:
Rx,y=12Mx∙y-3 (1.5)
Условимся рассматривать в выборке всякую пару чисел (zi, zi+s) как реализацию пары с. в. (x, у). Тогда во всей выборке имеем следующие n-s реализаций пары (x, y):
z1,z1+s ,…,zn-s,zn
По этим реализациям можно рассчитать оценку R коэффициента корреляции R(x,y). Формулу для вычисления оценки R можно вывести из равенства (1.5) следующим образом. Заменяя в (1.5) справа м. о. M(xy) соответствующим эмпирическим м. о. (средним арифметическим выборочных значений), а слева обозначение R(x,y) коэффициента корреляции обозначением R его оценки, получаем:
R=12n-si=1n-szi,zi+s-3

Данная работа не уникальна. Ее можно использовать, как базу для подготовки к вашему проекту.

Лев Цветков
Лев Цветков
Я являюсь кандидатом математических наук. Окончил финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, факультет прикладной математики и информационных технологий ФУ. По специальности работаю более 25 лет, за это время написал 6 диссертаций, 20 научных статей и 6 монографий. Кроме преподавания работаю репетитором, а по выходным подрабатываю в компании «Диплом777». С сайтом сотрудничаю с 2012 года.
Поделиться курсовой работой:
Поделиться в telegram
Поделиться в whatsapp
Поделиться в skype
Поделиться в vk
Поделиться в odnoklassniki
Поделиться в facebook
Поделиться в twitter
Похожие статьи
Раздаточный материал для дипломной работы образец

Когда студент выходит на защиту перед экзаменационной комиссией, ему требуется подготовить все необходимые материалы, которые могут повысить шансы на получение высокого балла. Один из таких

Читать полностью ➜
Задание на дипломную работу образец заполнения

Дипломная — это своеобразная заключительная работа, которая демонстрирует все приобретенные студентом знания во время обучения в определенном вузе. В зависимости от специализации к исследовательским работам

Читать полностью ➜