целая и дробная части числа

Пусть теперь x произвольное. Если увеличить x на 1n , то все слагаемые в левой части сдвинутся на одно место в право, а последнее слагаемое перейдёт в [x + 1], которое на 1 больше, чем [x]. Таким образом, с увеличением x на 1n левая часть увеличится на 1. Правая часть с увеличением x на 1n аналогично увеличивается на 1. Для любого x можно найти такое число α заключённое между 0 и 1n 0≤α<1n1n, что x отличен от α на mn, где m целое число. Из этого можно заключить, что равенство сохраняется при любом x.
Свойство 4. Для всех n∈Z справедливы равенства [x+n] = [x]+n.
Доказательство. Пусть для определенности n – натуральное число. Рассмотрим функцию y=fx, где fx=x. Известно, что график функции y= fx+n, то есть функция y = fx получается из графика y=fx сдвигом на n единиц влево вдоль оси OX. График функции y = fx+n, то есть функция y=x+n из графика функции y=fx поднятием на n единиц вверх вдоль оси Oy. В конце получаются одинаковые графики, т. е. x + n= x+ +n.
Аналогично доказывается случай, когда n – отрицательные целые числа x n=x n, n∈Z.
Свойство 5. Если [x]=[y], то x – y <1.
Доказательство. Так как x=[x]+{x}, y=y+y (где {x} и {y} – дробные части чисел x и y), то