Численные методы в инженерных расчетах

Данный раздел посвящен методу Ньютона решения систем нелинейных уравнений. Метод является обобщением метода Ньютона решения нелинейных уравнений. Метод Ньютона решения уравнений – итерационный численный метод нахождения корня заданной функции, предложенный английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном.
2.1 Теоретические основы метода
В основе метода Ньютона для системы уравнений лежит использование разложения функций в ряд Тейлора, причем члены, содержащие вторые производные (и производные более высоких порядков), отбрасываются. Задача состоит в нахождении приращений к значениям неизвестных системы.
Пусть дана система
(2.1)
Согласно методу Ньютона последовательные приближения вычисляются по формулам
(2.2)
(2.3)
где
(2.4)
(2.5)
– якобиан
(2.6)
Начальные приближения x0 и y0 определяются приближенно, например, графически. Описанный метод эффективен только при достаточной близости начального приближения к решению системы.
Блок-схема реализации последовательного алгоритма решения системы уравнений с точностью ε методом Ньютона приведена на рисунке 2.1.