Численные методы решения нелинейных уравнений

Этап уточнения корня имеет своей целью вычисление приближенного значения корня с заданной точностью. При этом применяются итерационные методы вычисления последовательных приближений к корню: x0, x1, …, xn, …, в которых каждое последующее приближение xn+1 вычисляется на основании предыдущего xn. Каждый шаг называется итерацией. Если последовательность x0, x1, …, xn, … при n имеет предел, равный значению корня , то говорят, что итерационный процесс сходится.
Корень ξ уравнения f(x)=0 считается отделенным (локализованным) на отрезке , если на этом отрезке данное уравнение не имеет других корней. Чтобы отделить корни уравнения, необходимо разбить область допустимых значений функции f(x) на достаточно узкие отрезки, в каждом их которых содержится только один корень. Существуют графический и аналитический способы отделения корней.
Графическое отделение корней основано на графическом способе решения уравнений – отыскании точек, в которых функция f(x) пересекает ось 0Х. В некоторых случаях удобно вначале преобразовать функцию f(x) к виду f(x)=g1(x) — g2(x), из которого, при условии f(x)=0, следует, что g1(x)=g2(x). При построении графиков y1=g1(x) и y2=g2(x) находят отрезки, содержащие точки пересечения этих графиков.
Аналитическое отделение корней основано на следующей теореме.
Если функция f(x) непрерывна и монотонна на отрезке [;] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то на отрезке [;] содержится один корень уравнения f(x)=0.
Действительно, если условия теоремы выполнены, как это имеет место на отрезке [a;b] (рис. 1.1), то есть f(a)∙f(b)<0 и f'(x)>0 для x [a;b], то график функции пересекает ось 0Х только один раз и, следовательно, на отрезке [a;b] имеется один корень уравнения f(x) = 0.
Аналогично можно доказать единственность корня на отрезке [c;d], на [d;e] и т.д.