Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка a, b на частичные отрезки, ни от выбора точек zi в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции y=f(x) на отрезке a, b и обозначается abf(x)dx. Таким образом, abf(x)dx=limλ0i=1nf(zi)∆xi .
В этом случае функция f(x) называется интегрируемой на a, b. Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) – подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования; отрезок a, b называется промежутком интегрирования. Если функция f(x) непрерывна на отрезке a, b, то она интегрируема на этом отрезке.
Рассмотрим геометрический смысл определенного интеграла. Пусть на отрезке a, b. задана непрерывная неотрицательная функция f(x). Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции f(x), снизу – осью Ох, слева и справа – прямыми x = a и x = b (см. рис. 2).
Рисунок 2 – Геометрический смысл определенного интеграла
Определенный интеграл abf(x)dx от неотрицательной функции f(x) с геометрической точки зрения численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции f(x), слева и справа – отрезками прямых x=a и x=b, снизу – отрезком a, b оси Ох.
Запишем основные свойства определенного интеграла:
Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной
интегрирования:
abf(x)dx=abf(z)dz=abf(t)dt=…
Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:
aaf(x)dx=0
