Из кватернионов можно также строить упорядоченные пары, вводя операции сложения и умножения как описано выше, а операцию сопряжения согласно формуле ab = (а, -b) (а и b — кватернионы). Полученная таким образом алгебра называется алгеброй Кэли, а ее элементы — числами Кэли или октавами. Умножение в алгебре Кэли уже не будет даже ассоциативным, однако ассоциативный закон имеет место в частном случае — для любых двух чисел Кэли α и β:
(αα)β = α(αβ),
α(ββ) = (αβ)β,
α(βα) = (αβ)α.
Кроме того, каждое ненулевое число Кэли имеет обратное. Другими словами, в алгебре Кэли любое уравнение αх = β (или хα = β) имеет единственное решение. Таким образом, алгебра Кэли также является алгеброй без делителей нуля. Можно доказать, что, кроме алгебры комплексных чисел, алгебры кватернионов и алгебры Кэли, не существует «многомерных» числовых алгебр без делителей нуля.
Заключение
Можно сделать следующие выводы, что в математике алгебра кватерниона по области Ф — центральная простая алгебра по F, у которого есть измерение 4 по F. Каждая алгебра кватерниона становится матричной алгеброй, расширяя скаляры (=tensoring с полевым расширением), т.е. для подходящего полевого расширения K F, изоморфно к 2×2 матричная алгебра по K.
Понятие алгебры кватерниона может быть замечено как обобщение кватернионов Гамильтона к произвольной основной области. Кватернионы Гамильтона — алгебра кватерниона (в вышеупомянутом смысле) по (область действительного числа), и действительно единственная, законченная кроме 2×2 реальная матричная алгебра, до изоморфизма.
В результате написания данной работы удалось решить поставленные задачи, а именно:
Рассмотреть теоретико-методологические основы алгебры кватернионов.
Проанализировать свойства алгебры кватернионов.
Таким образом, была достигнута поставленная цель работы: мотреть теоретические и практические аспекты алгебры кватернионов.
