Содержание
Введение
1. Краткие сведения о методе Фроммера
2. Представления фазовых кривых систем двух обыкновенных дифференциальных уравнений вблизи критического направления
3. Аналитический случай
4. Построение примеров, удовлетворяющих методу Фроммера
Заключение
Список использованной литературы
Приложение А Нахождение характеристических чисел 1 и 2 рода в С++ 41
Введение
В данной дипломной работе мною будет рассмотрен метод Фроммера — эффективный геометрический метод для определения характера интегральных кривых. Этот метод достаточно сложный и имеет недостатки, связанный с громоздкостью исследований, но с другой стороны является эффективным.
Исследование поведения интегральных кривых дифференциального уравнения
(1)
в окрестности изолированной особой точки, которой является начало координат, проводятся при некоторых ограничения на функцию
Один из основных методов исследования предложен Брио и Буке в предположении, что
(2)
где P и Q — ряды, сходящиеся по целым неотрицательным степеням x и y в некоторой окрестности начала координат. Они показывают, что всякое уравнения (1) при условии (2) с помощью локальных замен можно свести к некоторому числу уравнений вида
(3)
где m — целое положительное число, — ряд, сходящийся по целым неотрицательным степеням x и y в некоторой окрестности начала координат, . Уравнение (3) всегда (кроме m=1, — натуральное) имеет единственное решение в виде формального ряда
,
который сходится, если m=1, и может расходится, если m >1.
При аналогичных ограничениях рассматривается метод Горна. Эффективный геометрический метод для определения характера интегральных кривых дал М.Фроммер. При этом правая часть
уравнения (1) рассматривается при несколько более общих ограничениях: P и Q — алгеброидные функции. Исследования проводятся с помощью преобразований, и . Строгое изложение метода было дано А.Ф.Андреевым.
Этот метод имеет недостатки, связанные с громоздкостью исследований, но в аналитическом случае топологическая структура интегральных кривых устанавливается конечным числом шагов. При этом методы Брио — Буке и Фроммера равносильны. В случае если P и Q — непрерывные однородные функции, уравнение (1) приводится к виду
, n >0, который исследован Е.В.Воскресенским.
В настоящей работе предлагается метод исследования поведения интегральных кривых уравнения (1), когда непрерывна в области O(0,0), D — некоторая окрестность начала координат, O(0,0)- изолированная особая точка. В случае, когда правая часть уравнения (1) удовлетворяет ограничению (2), излагаемый метод переходит в метод Фроммера.
1. Краткие сведения о методе Фроммера
Рассмотрим дифференциальное уравнение
(1.1)
для которого выполнены следующие условия:
a) — непрерывна в области Q и в этой области решения уравнения (1.1) однозначно определяется начальными данными
O(0,0),
,
,
O (0, 0) — изолированная особая точка;
б) пусть , O(0,0), L — интегральная кривая, проходящая через точку , . Если эта кривая не имеет вертикальных асимптот, то решение уравнения (1.1), соответствующее начальным данным , представимо в виде , где — однозначная дифференцируемая функция на . Если L имеет вертикальные асимптоты, она также представима в виде на множестве . Если на множестве , то решение уравнения (1.1) представимо в виде на множестве ,
в) пусть , , L — интегральная кривая, проходящая через точку , . Если эта кривая не имеет горизонтальных асимптот, то решение уравнения (1.1), соответствующее начальным данным , представимо в виде ,, где — однозначно дифференцируемая функция на . Если L имеет горизонтальные асимптоты, она также представима в виде на множестве . Если на множестве , то решение уравнения (1.1) представимо виде на множестве ;
г) пусть , O(0,0); тогда, если соответствующая интегральная кривая L примыкает к особой точке и в достаточно близости к особой точке не совпадает с координатной осью, то она располагается внутри одной из координатных четвертей и представима в виде в достаточной близости к особой точке. Каждая интегральная кривая, пересекающая ось координат при малых x и y, представима в виде или , где и — однозначно дифференцируемые функции.
При условиях а) — г) мы будем изучать поведения поведение интегральных кривых уравнения (1.1) в области .
Рассмотрим ряд теорем и определений, применение которых, поможет построению примеров, удовлетворяющих методу Фроммера.
Теорема 1.1. Пусть . Тогда решение уравнения, соответствующее этим данным при достаточно малых x и y, допускает представление или , где и — однозначно дифференцируемые функции.
Назовём характеристическим числом первого рода функции , если для любой последовательности , , существует единственный (конечный) предел
. (1.2)
Пусть функция , где .Тогда, если для любой последовательности , , существуют единственный предел (конечный или бесконечный)
(1.2*)
то назовём характеристическим числом первого рода функции .
Назовём множество первой характеристической интегральной кривой L в точке . Тогда множество определим как главную первую характеристику этой кривой. Первую характеристику интегральной кривой и характеристические числа , обозначим соответственно символами , , .
Пусть интегральная кривая проходит через точку . Тогда её главную первую характеристику обозначим .
По аналогии с понятием “мера кривизны” Фроммера введём понятие характеристического числа второго рода интегральной кривой уравнения (1.1)
Назовём характеристическим числом второго рода функции , если при существует конечное характеристическое число первого рода и имеется единственный (конечный или бесконечный) предел
.
Аналогично вводится определение характеристического числа второго рода и для — непрерывной и дифференцируемой функции в области .
Теорема 1.2. Для решения уравнения (1.1), удовлетворяющего условиям б), г), существует характеристическое число первого рода, если для любого существуют пределы
(1.3)
; функция имеет конечное число возможных точек разрыва второго рода, а уравнение — конечное число корней.
Доказательство.
Произведем замену в уравнении (1.1). После замены уравнение (1.1) имеет вид
(1.4)
при этом существуют области
, (1.5)
проекциями которых на ось являются интервалы .
В каждой из областей — однозначная непрерывная и дифференцируемая функция при если и при если
В области (1.5) интегральные кривые уравнения (1.4) являются монотонными функциями, так как для каждого существуют пределы (1.3) и правая часть уравнения (1.4) сохраняет знак в каждой области из областей (1.5)
Пусть ветвь интегральной кривой уравнения (1.4) находится в одной из областей при если и при если Тогда существует предел функции при (предел ограниченной монотонной функции) — характеристическое число первого рода.
Предположим, что при если и при если ветвь уравнения (1.4) не лежит ни в одной из областей .
Тогда также существует и равен либо , либо
Аналогично сформулируем теорему и для решения уравнения (1.1), представимого в виде (в силу непрерывности каждой ветви ).
Теорема 1.3. Для каждого решения уравнения (1.1), удовлетворяющего условиям в), г), существует характеристическое число первого рода, если для любого существуют пределы
(1.6)
; функция имеет конечное число возможных точек разрыва второго рода, а уравнение — конечное число корней.
При выполнении условий теорем 1.2 и 1.3 каждая интегральная кривая, принадлежащая области , имеет первую характеристику в начале координат.
Будем называть множества
;
характеристическими множествами первого рода решения уравнения (1.1).
Теорема 1.4. Для каждого решения уравнение (1.1), имеющего в начале координат конечное характеристическое число первого рода, существует характеристическое число второго рода, если для любого существуют пределы
(1.7)
; функция имеет конечное число возможных точек разрыва второго рода, а уравнение — конечное число корней, — конечное характеристическое число первого рода.
Теорема 1.5. Для каждого решения уравнение (1.1), имеющего в начале координат конечное характеристическое число первого рода, существует характеристическое число второго рода, если существуют пределы
(1.8)
; функция имеет конечное число возможных точек разрыва второго рода, а уравнение — конечное число корней, — конечное характеристическое число первого рода.
При выполнении условий теорем 1.4 и 1.5 каждая интегральная кривая, принадлежащая области и имеющая в начале координат характеристическое число первого рода, имеет вторую характеристику в начале координат.
Будем называть множества
;
характеристическими множествами второго рода решения уравнения (1.1). Если , где v — конечное характеристическое число первого рода, то в этом случае теоремы 1.4 и 1.5 не применимы. Тогда, осуществляя обратную замену, получаем:
,
;
интегральные кривые этого уравнения , где
— характеристическое число второго рода; v — конечное характеристическое число первого рода.
2. Представления фазовых кривых систем двух обыкновенных дифференциальных уравнений вблизи критического направления
Рассмотрим обобщённый степенной ряд
, (2.1)
где x,y — вещественные переменные;
.
Допустим, что существует x=a>0, y=b>0 при которых ряд (2.1) абсолютно сходится.
Тогда этот ряд абсолютно сходится в прямоугольнике
.
Функцию, определяемую рядом (2.1), абсолютно сходящимся в прямоугольнике , т.е. будем называть квазианалитической в области, а если число членов, которое содержится в данном выражении, конечно, то квазиполиономом.
Пусть — квазианалитическая функция в области и функция однозначна, следовательно и непрерывна в прямоугольнике , тогда функцию будем называть квазианалитической в области П.
Рассмотрим систему уравнений:
(2.2)
где и — квазианалитические функции в области П вида
Будем предполагать выполненными следующие условия:
а),
б) Для всякого положительного числа К имеется конечное число различных показателей — меньших К.
в)
С помощью подстановки можно доказать, что через каждую точку области П, отличную от начала координат, проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения
(2.3)
то есть начало координат является изолированной особой точкой уравнения (2.3).
Исследуем задачу представления решения уравнения (2.3) в виде ряда
(2.4)
где
Здесь — представляет собой последовательные возможные порядки кривизны, — соответствующие им конечные ненулевые меры кривизны интегральных кривых.
Ряд (2.4) будем называть специальным рядом или рядом Фроммера.
Определим первый член разложения (2.4) . Для этого квазианалитические функции P и Q представляются в специальной, так называемой, нормальной форме:
(2.5)
Квазиполином называется основной частью, а квазианалитическая функция — добавочной частью функции .
Аналогично, для , получим:
(2.6)
Учитывая (2.5) и (2.6), уравнение (2.3) представимо в нормальной форме:
(2.7)
Относительно правой части уравнения (2.3) записанного в нормальном виде (2.7), предположим:
г)
Произведём в уравнении (2.7) преобразование
(2.8)
где — дифференцируемая вблизи нуля функция;
— неотрицательный параметр.
(2.9)
Числитель и знаменатель уравнения (2.9) в каждом члене содержат различные степени x, которые зависят от параметра . Для выяснения вопроса о том, какая из этих степеней является наименьшей, строят характеристическую ломаную следующем образом:
на оси абсцисс откладываем параметр , а на оси ординат — те показатели x, которые могут быть наименьшими при .
Очевидно, что интегральные кривые, совпадающие с осями координат в достаточной близости нуля, или имеющие нулевые и бесконечные порядки кривизны, не могут быть представлены в виде рядов (2.4). Поэтому будем предполагать отсутствие интегральных кривых указанных типов у уравнения (2.3), т.е. требуем выполнения условия г).
Из условия г) следует, что построенный характеристический многоугольник обладает следующими свойствами:
1. существует первые и последние звенья, а промежуточные могут отсутствовать;
2. первое звено является пунктирным и не проходит через начало, а последнее звено
будет сплошным и не параллельно оси , так как оно имеет отрицательный угловой коэффициент.
Эти свойства характеристического многоугольник гарантирует отсутствие интегральных кривых уравнения (2.7), имеющих нулевые и бесконечные порядки кривизны или совпадающих с осями координат.
Пусть — характеристические числа, то есть абсциссы вершин характеристического многоугольника. Отсюда следует, что
Подставляя в первой части уравнения (2.9) вместо и сокращая числитель и знаменатель на небольшую возможную степень x , получим
(2.10)
Алгебраическое уравнение:
=0 (2.11)
является уравнением мер кривизны (УМК) для показателя . Каждый действительный корень уравнения (2.11) будет коэффициентом первого члена ряда, который имеет показатель .
Если для всех уравнение мер кривизны не имеет ни одного действительного положительного корня, то дифференциальное уравнение (2.3) не может иметь решения, примыкающего к особой точке О(0;0) из области П.
Найдя все положительные действительные корни (их конечное число) УМК (2.11) для каждого показателя во всех остальных областях мы можем решить вопрос о наличии или отсутствии коэффициента первого члена ряда (2.4), имеющего показатель . Отсутствие коэффициента для всех показателей в области П гарантирует отсутствие решения уравнения (2.3), представимого в виде ряда (2.4).
Введём обозначения
Уравнение (2.10) можно переписать в виде
Отсюда следует, что функция равна разности угловых коэффициентов направления поля и касательной к параболе вблизи начала координат О(0;0) и в дальнейшем её будем называть функцией разности.
Аналогичным образом определяется второй член искомого разложения (2.4).
Теорема 2.1. Если, начало координат О(0;0) является особой точкой первой группы (седло, узел, седло — узел), то интегральные кривые уравнения (2.3), примыкающие к особой точке О(0;0) , за исключением кривых имеющих нулевые и бесконечные порядки кривизны, можно представить формальными рядами вида (2.4).
Теорема 2.2. Если какой либо показатель ряда (2.4) определяется из коэффициента правой части уравнения, то ряд (2.4) сходится вблизи О(0;0) и является решением данного дифференциального уравнения.
Теорема 2.3. Формальный ряд (2.4) служит асимптотическим представлением некоторой аналитической функции соответствующей правильной О — кривой уравнения (2.3).
3. Аналитический случай
Рассмотрим частный случай, когда
(3.1)
где P(x,y) и Q(x,y) — ряды по целым неотрицательным степеням x и y с вещественными коэффициентами, сходящиеся в некоторой фиксированной окрестности Q начала координат.
P(0,0=Q(0,0)=0, O(0,0) — изолированная особая точка.
Построим фиксированную окрестность особой точки.
Выберем настолько малым, чтобы в области были выполнены условия теоремы 1.2. Выберем таким образом, чтобы в области не находилось ни одной изоклины нуля, определяемых ветвями кривой,
Тогда в построенной окрестности Q выполнены условия а), б), в), г):
a) в области Q правая часть уравнения вида (3.1) непрерывна и в этой области решения определяются однозначно начальными данными ;
б) пусть , L — интегральная кривая, проходящая через точку . В полосах выполнены условия теоремы 1.2 в силу выбора . Тогда, если, не является ветвью Q(x,y), то решение уравнения представимо в виде . Если ветвь Q(x,y),
то решение уравнения представимо в виде отдельно на полосах Пусть на множестве , то решение уравнения (1.1) представимо в виде на множестве .
Тогда на множестве решение уравнения представимо в виде :
в) пусть , L — интегральная кривая, проходящая через точку . Предположим, что , L не имеет горизонтальных асимптот. Тогда в области решение уравнения представимо в виде так как в этой области не находится ни одной изоклины нуля.
Предположим, что L имеет горизонтальные асимптоты. Тогда в области, принадлежащей и определяемой, как решение так же представимо в виде так как изоклины нуля не расположены в области P не находится ни одной изоклины нуля;
г) пусть O(0,0). Доказательство данного условия аналогично доказательству теоремы 1.1.
Покажем, что выполнены условия теоремы 1.2. Доказательство для теоремы 1.3 проводится аналогично.
Функции P(x,y) и Q(x,y) всегда могут быть представимы в виде
(3.2)
(3.3)
где r,s — целые неотрицательные числа,
и для любой пары чисел (k,m), (l,n) найдутся числа такие, что
Из изолированности особой точки O(0,0) следует, что хотя бы одно из чисел и соответственно одно из чисел равно нулю.
В выражениях xP(x,y), xQ(x,y) делаем подстановку получаем
(3.4)
(3.5)
Ряды (3.2) и (3.3) сходятся в области Q и тем более сходятся в области . Тогда ряды (3.4) и (3.5) сходятся в области включая все точки положительной полуоси .
При любом младшие степени x в (3.4) и (3.5) содержат только члены
(3.6)
(3.7)
Построим ломаную Фроммера. Пусть абсциссы вершин этой ломаной. Эти числа называют характеристическими числами первого рода особой точки O(0,0). Они разбивают положительную полуось оси на N+1 интервалов:
Если интервал соответствует простому звену характеристической ломаной, то его называют обыкновенным интервалом, если же он соответствует двойному звену, то его называют особым интервалом оси .
Рассмотрим пределы:
на N+1 интервалах положительной полуоси . Если обыкновенный интервал, то при всех младшую степень содержит лишь один член разложения: либо член вида (3.6), либо (3.7). То есть, в этом случае имеет вид либо
(3.8)
либо , (3.9)
— постоянные, где , — ряды по положительным степеням x, показатели которых линейные функции от v, а коэффициенты постоянны.
Ряды сходятся в области Тогда в первом случае
во втором: причем функция не имеет разрывов второго рода.
Пусть — особый интервал оси , т.е. при всех младшую степень содержат два члена разложения: один из членов разложения вида (3.6) и один из членов разложения вида (3.7).
В этом случае имеет вид ,
где — постоянные, где , — функции той же природы, что и в (3.8) и (3.9). Тогда:
Функция не имеет разрывов второго рода и может иметь в этой области только один корень — называемый особым числом.
Следовательно, выполнены все условия теоремы 1.2.
Покажем, что выполнены условия теоремы 1.4. Аналогично доказывается выполнимость условий теоремы 1.5.
Пусть — конечное характеристическое число первого рода О-кривой уравнения с правой частью вида (3.1). Если =0 то =0, что следует из (1.4).
Пусть . В уравнение (1.1) с правой частью вида (3.1) делаем подстановку при малых х>0 .
— ряды по целым неотрицательным степеням и положительным степеням х, сходящиеся в области
(3.10)
Функции отличаются от функции (3.4) и (3.3), рассмотренных при фиксированном лишь множителем при . В разложении по степеням и х младшие степени х будут содержать члены, обязательно соответствующие членам (3.6) и (3.7), так как взаимное уничтожение в данном случае невозможно в силу того , что они содержат различные степени . Показатели степеней всех остальных членов будут превышать показатель младшей степени не меньше, чем на некоторое число . Исключение имеет место, если или
В этом случае, делая обратную замену, получаем
или Интегральные кривые этого уравнения имеют вид , где конечное число первого рода, — характеристическое число второго рода
Предположим, что тождество не имеет места, тогда функция
может быть представлена в виде по аналогии с [3]:
(3.11)
постоянное число, — многочлены от с постоянными коэффициентами:
ряды по целым неотрицательным степеням и по неотрицательным неограниченно возрастающим степеням , сходящиеся в области (3.10).
Предположим, что — множество всех различных корней многочленов .
Тогда возможны три случая:
а) 0, в этом случае в силу (3.11) на всех интервалах ;
б) 0, в этом случае в силу (3.11) на всех интервалах ;
в) 0, в этом случае в силу (3.11) на всех интервалах ;
Функция имеет конечное число разрывов второго рода, так как и знаменатель обращается в нуль только в конечном числе точек, являющихся корнями многочлена .
Уравнение имеет конечное число корней: они являются корнями многочлена степени не выше, чем .
Теоремы о мере кривизны в [3] рассматриваются при
4. Построение примеров, удовлетворяющих методу Фроммера
Рассмотрим пример:
(4.1)
здесь
Согласно доказанному, между тремя коэффициентами уравнения (4.1) должна существовать определённая связь, необходимая и достаточная для сходимости соответствующего ряда
(4.2)
Это условие имеет вид
причём — произвольная постоянная, не равная 0.
Рассмотрим условие сходимости соответствующего ряда (4.2) в одном частном случае, то есть
(4.3)
где ряд сходится вблизи О(0;0),
Линейное преобразование приводит уравнение (4.3) к виду
(4.4)
Далее получим для коэффициентов соответствующего ряда (4.2), получим:
(4.5)
Из (4.5) имеем
Где
например
Пусть в уравнении (4.4) число а не является целым положительным. Тогда (4.5) получим
(4.6)
Пусть соответствующий ряд (2) для О — кривых уравнения (4) сходится. Тогда переходя к пределу (6), получим
(4.7)
Предельное равенство (4.7) является необходимым и достаточным условием сходимости соответствующего ряда (4.2) для О — кривых уравнения (4.4).
При а=0 условие (7) примет вид
(8)
Условие (4.8) обратится в линейное соотношение между конечным числом коэффициентов, если b=0 и — полином.
Пусть теперь а=n. Тогда условие сходимости имеет вид
(4.9)
Если полином b=0, то условие (4.9) обратится в тождество.
Пример.
Условие (4.7) выполняется и поэтому уравнение имеет решение в виде ряда , сходящегося при |x|<1 , то есть
.
Далее рассмотрим пример на отыскание характеристических чисел 1,2 рода, пользуясь теоремами из пункта 1.
Пример: Рассмотрим дифференциальное уравнение
Правая часть уравнения непрерывна в области определения. Проинтегрируем дифференциальное уравнение
Изобразим график данной функции.
Рисунок 4.1 — График функции особые решения y=0, x=0.
Решения дифференциального уравнения определяются начальными данными и условия а), б), в) выполняются. Условия г) также выполнимо, так как не существуют ни одной интегральной кривой, примыкающей к особой точке и не совпадающей с координатными осями.
Следуя теоремам, рассмотренным в пункте 1,определим возможные характеристические числа первого рода рассматриваемого уравнения:
Найдём возможные характеристические числа первого рода и для решения уравнения, представимого в виде x=x(y)
Тогда характеристическими множествами первого рода рассматриваемого уравнения будут
Применяя теоремы из пункта 1, найдём возможный характеристические числа второго рода
а)
характеристические числа второго рода найдём из уравнения: откуда
б)
Характеристические числа второго рода найдём из уравнения: откуда Следовательно, возможны соприкасающиеся параболы: y=0,x=0.
Пример: Рассмотрим дифференциальное уравнение
Правая часть удовлетворяет условию а). Действительно,
непрерывна в области y>0, x>0 (первая координатная четверть) и
ограничена в рассматриваемой области.
Изоклиной нуля является ось x(y=0), а изоклиной бесконечности — ось y(x=0).Следовательно, решение уравнения однозначны и представимы в виде (условие б) и в виде (условие в), также выполнено условие г).
Следуя теоремам из пункта 1, определим возможные характеристические числа первого рода рассматриваемого уравнения.
а) Для решения, представимого в виде
б) Для решения, представимого в виде
, следовательно уравнение имеет решение v=1.
Тогда характеристическими множествами первого рода рассматриваемого уравнения будут:
.
Применяя теоремы из пункта 1,найдём возможные характеристические числа второго рода
а)
из уравнения найдём характеристические числа второго рода:
б)
из уравнения найдём характеристические числа второго рода:
в)
из уравнения найдём характеристические числа второго рода:
г)
из уравнения найдём характеристические числа второго рода:
е)
в этом случае:
Действительно,
Следовательно, Возможные соприкасающиеся параболы рассматриваемого уравнения:
Рисунок 4.2 — Соприкасающиеся параболы для решения
Рисунок 4.3 — Соприкасающиеся параболы для решения
Заключение
В данной работе был рассмотрен один из методов исследования поведения интегральных кривых дифференциальных уравнений, в окрестности особой точки, которой является начало координат, предложенный М.Фроммером. Этот метод достаточно сложный и имеет недостатки, связанный с громоздкостью исследований, но с другой стороны является эффективным. Кроме того, была рассмотрена теория характеристических чисел, важные теоремы и определений, а также частный случай (аналитический) метода Фроммера. Особое место в работе занимает важная тема, связанная с представлением фазовых кривых систем двух обыкновенных дифференциальных уравнений вблизи критического направления, указаны основные теоремы, а также ряд важных определений и примеров.
В практической части дипломной работы, был разобран ряд примеров на исследование окрестности особой точки методом Фроммера, а также примеры на нахождение характеристических чисел. Соответственно, для построения примеров были указаны уже известные факты — определения характеристических чисел, все возможные случаи положения особой точки в данной области, а также ряд теорем, позволяющих упростить задачу об исследовании поведения интегральных кривых.
В программной среде С++ был реализована задача на нахождение характеристических чисел первого и второго рода заданного дифференциального уравнения.
Т.к. описанный метод имеет большое практическое значение в различных областях математики (дифференциальные уравнения, задача на движение газа из распределенного источника в магнитном поле в уравнениях математической физики и т.д.), данная работа, а особенно ее практическая часть (программная реализация) может получить применение для решения задач по исследованию поведения функций в окрестности особой точки.
Список использованной литературы
1. Воскресенский Е. В., Артемьева Е. Н., Белоглазов В. А. Качественные и асимптотические методы интегрирования дифференциальных уравнений / Е. В. Воскресенский. — М.: издательство Саратовского университета, 1988. — 329 c.
2. Фроммер М. Интегральные кривые обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка в окрестности особой точки, имеющей рациональный характер / М. Фроммер. — М.: Успехи мат. науки. 1941. — 253с.
3. Петровский И. Г. О поведении интегральных кривых системы обыкновенных дифференциальных уравнений вблизи особой точки /
И. Г. Петровский. — М.: Мат.сб., 1934. — 156 c.
4. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения /
Л. С. Понтрягин. — М.: Наука, 1974. — 331 с.
5. Андреев А. Ф. Особые точки дифференциальных уравнений /
А. Ф. Андреев. — М.: Высшая школа,1979. — 136 c.
фроммер дифференциальное уравнение
Приложение А
(Обязательное)
Нахождение характеристических чисел 1 и 2 рода дифференциального уравнения в C++
#include «iostream»
#include «fstream»
#include «math.h»
#include «conio.h»
#include «stdio.h»
#include «stdlib.h»
using namespace std;
double nu;
double gamma;
double eps = 0.001;
const A = -5; //левая граница отрезка, на котором требуется отделить корни
const B = 5; //правая граница отрезка, на котором требуется отделить корни
double h = 0.001; //шаг
double x;
int N1, N2; //степень многочлена
double CharacterNumber1[3];
double CharacterNum2[3];
//старшая степень числителя
double Numerator(double nu)
{
return 1 — nu/2;
}
//старшая степень знаменателя
double Denominator(double nu)
{
return (2*nu — 1) / 2;
}
//равенство числителя и знаменателя
double NumDenom(double nu)
{
return Numerator(nu) — Denominator(nu);
}
double lim1 (double gamma, double nu)
{
if ((1 + gamma) > eps) return (gamma / (1 + gamma)) — nu * gamma;
if ((1 + gamma) <= eps) return -1;
}
double lim2 (double gamma, double nu)
{
return gamma + pow(gamma, 0.5) — nu * gamma;
}
int main()
{
//характеристические числа 1 рода
int N1 = 0; //число характеристических чисел 1 рода
nu = A;
while (nu < B)
{
if (((Numerator(nu) > 0) && (Numerator(nu + h) < 0)) ||
((Numerator(nu) < 0) && (Numerator(nu + h) > 0)))
{
CharacterNumber1[N1] = nu+h/2;
N1 = N1 + 1;
}
nu = nu + h;
}
nu = A;
while (nu < B)
{
if (((Denominator(nu) > 0) && (Denominator(nu + h) < 0)) ||
((Denominator(nu) < 0) && (Denominator(nu + h) > 0)))
{
CharacterNumber1[N1] = nu+h/2;
N1 = N1 + 1;
}
nu = nu + h;
}
nu = A;
//равенство числителя и знаменателя
nu = A;
while (nu < B)
{
if (((NumDenom(nu) > 0) && (NumDenom(nu + h) < 0)) ||
((NumDenom(nu) < 0) && (NumDenom(nu + h) > 0)))
{
CharacterNumber1[N1] = nu+h/2;
N1 = N1 + 1;
}
nu = nu + h;
}
//характеристические числа 2 рода
int N2 = 0; //число характеристических чисел 2 рода
gamma = A;
while (gamma < B)
{
if (((lim1(gamma,CharacterNumber1[1]) > 0) && (lim1(gamma + h,CharacterNumber1[1]) < 0)) ||
((lim1(gamma,CharacterNumber1[1]) < 0) && (lim1(gamma + h,CharacterNumber1[1]) > 0)))
{
CharacterNum2[N2] = gamma+h/2;
N2 = N2 + 1;
}
gamma = gamma + h;
}
gamma = A;
while (gamma < B)
{
if (((lim1(gamma,CharacterNumber1[0]) > 0) && (lim1(gamma + h,CharacterNumber1[0]) < 0)) ||
((lim1(gamma,CharacterNumber1[0]) < 0) && (lim1(gamma + h,CharacterNumber1[0]) > 0)))
{
CharacterNum2[N2] = gamma+h/2;
N2 = N2 + 1;
}
gamma = gamma + h;
}
cout<<» Mistake = «<<h/2<<endl;
cout<<» Characteristic 1:»<<endl;
cout<<» «<<CharacterNumber1[0]<<endl;
cout<<» «<<CharacterNumber1[1]<<endl;
cout<<» «<<CharacterNumber1[2]<<endl;
cout<<» Characteristic 2:»<<endl;
cout<<» «<<CharacterNum2[0]<<endl;
cout<<» «<<CharacterNum2[1]<<endl;
cin.get();
return 0;
}
Рисунок А.1 — Полученный результат (с учетом погрешности)
Рисунок А.2 — График соприкасающихся парабол
